Эмпирические и выравнивающие частоты
Дискретное распределение.
Рассмотрим дискретную случайную величину , закон распределения которой неизвестен. Пусть произведено
испытаний, в которых величина
приняла
раз значение
,
раза - значение
раз - значение
, причем
Определение 5. Эмпирическими частотами называют фактически наблюдаемые частоты .
Предположим, что у нас имеются основания предположить, что изучаемая величина распределена по некоторому определенному закону. Для того, чтобы проверить, согласуется ли это предположение с данными наблюдений, вычисляют частоты наблюдаемых значений, то есть находят теоретически сколько раз величина
должна была принять каждое из наблюдаемых значений, если она распределена по наблюдаемому закону.
Определение 6. Выравнивающими (теоретическими), в отличии от фактически наблюдаемых эмпирических частот, называют частоты , найденные теоретически (вычислениями). Их находят по соотношению
где: число испытаний;
вероятность наблюдаемого значения
, вычисленная при допущении, что
имеет предполагаемое распределение.
Непрерывное распределение.
В случае непрерывного распределения, вероятности отдельных возможных значений равны нулю. Поэтому весь интервал возможных значений делят на непересекающихся интервалов и вычисляют вероятности
попадания
в
й частичный интервал, а затем, как и для дискретного распределения, умножают число испытаний на эти вероятности.
Итак, выравнивающие частоты непрерывного распределения находят по соотношению:
где: число испытаний;
вероятность наблюдаемого значения
, вычисленная при допущении, что
имеет предполагаемое распределение.
В частности, если имеются основания предположить, что случайная величина (генеральная совокупность) распределена нормально, то выравнивающие частоты могут быть найдены по формуле
(IV.6)
где: число испытаний (объем выборки);
длина частичного интервала;
выборочное среднее квадратическое отклонение;
середина
го частичного интервала
Замечание: Как известно, дифференциальная функция (функция плотности распределения вероятностей) общего нормального распределения имеет следующий вид
(IV.7)
При и
получим дифференциальную функцию нормированного распределения
или, заменив обозначение аргумента
Далее, положив, имеем
(IV.8)
Сравнивая (IV.7) и (IV.8), можно сделать заключение, что
Если математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение
неизвестны, то в качестве оценок этих параметров принимают соответственно выборочную среднюю
и выборочное среднее квадратическое отклонение
Тогда
где
Пусть середина
го частичного интервала (на которые разбита совокупность всех наблюдаемых значений нормально распределенной случайной величины
) длиною
Тогда вероятность попадания
в этот интервал приближенно равна произведению длины интервала на значение дифференциальной функции
в любой точке интервала и, в частности, при
Следовательно, выравнивающая частота
где
Таким образом, формула (IV.5) получена.