Эмпирические и выравнивающие частоты

Дискретное распределение.

Рассмотрим дискретную случайную величину , закон распределения которой неизвестен. Пусть произведено испытаний, в которых величина приняла раз значение , раза - значение раз - значение , причем

Определение 5. Эмпирическими частотами называют фактически наблюдаемые частоты .

Предположим, что у нас имеются основания предположить, что изучаемая величина распределена по некоторому определенному закону. Для того, чтобы проверить, согласуется ли это предположение с данными наблюдений, вычисляют частоты наблюдаемых значений, то есть находят теоретически сколько раз величина должна была принять каждое из наблюдаемых значений, если она распределена по наблюдаемому закону.

Определение 6. Выравнивающими (теоретическими), в отличии от фактически наблюдаемых эмпирических частот, называют частоты , найденные теоретически (вычислениями). Их находят по соотношению

где: число испытаний;

вероятность наблюдаемого значения , вычисленная при допущении, что имеет предполагаемое распределение.

Непрерывное распределение.

В случае непрерывного распределения, вероятности отдельных возможных значений равны нулю. Поэтому весь интервал возможных значений делят на непересекающихся интервалов и вычисляют вероятности попадания в й частичный интервал, а затем, как и для дискретного распределения, умножают число испытаний на эти вероятности.

Итак, выравнивающие частоты непрерывного распределения находят по соотношению:

где: число испытаний;

вероятность наблюдаемого значения , вычисленная при допущении, что имеет предполагаемое распределение.

В частности, если имеются основания предположить, что случайная величина (генеральная совокупность) распределена нормально, то выравнивающие частоты могут быть найдены по формуле

(IV.6)

где: число испытаний (объем выборки);

длина частичного интервала;

выборочное среднее квадратическое отклонение;

середина го частичного интервала

Замечание: Как известно, дифференциальная функция (функция плотности распределения вероятностей) общего нормального распределения имеет следующий вид

(IV.7)

При и получим дифференциальную функцию нормированного распределения

или, заменив обозначение аргумента

Далее, положив, имеем

(IV.8)

Сравнивая (IV.7) и (IV.8), можно сделать заключение, что

Если математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение неизвестны, то в качестве оценок этих параметров принимают соответственно выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение Тогда

где

Пусть середина го частичного интервала (на которые разбита совокупность всех наблюдаемых значений нормально распределенной случайной величины ) длиною Тогда вероятность попадания в этот интервал приближенно равна произведению длины интервала на значение дифференциальной функции в любой точке интервала и, в частности, при