Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах. Решение задачи Дирихле для кольца
Пусть гармоническая функция. Тогда
или
.
Рассмотрим цилиндрические координаты
,
откуда
.
Заменяя независимые переменные на
и
, придем к функции
. Используя правило дифференцирования сложной функции нескольких переменных, можно показать, что найденная функция
должна удовлетворять уравнению
.
Это и есть уравнение Лапласа в цилиндрических координатах.
Если функция не зависит от
, а только от
и
, то функция
будет удовлетворять уравнению
, (III.26)
где и
полярные координаты на плоскости.
Найдем решение уравнения Лапласа в области , ограниченной окружностями
и
и удовлетворяющее граничным условиям:
, (III.27)
где постоянные.
Решим эту задачу в полярных координатах. Целесообразно искать решение, не зависящее от , так как граничные условия от
не зависят. Уравнение (III.26) в этом случае примет вид
.
Очевидно, что это обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка. Понижая порядок и интегрируя его, найдем
. (III.28)
Постоянные и
определяются из граничных условий (III.27)
,
.
Подставляя найденные значения и
в формулу (III.28), окончательно получим
.
Замечание. Фактически решена задача нахождения функции , удовлетворяющей уравнению Лапласа в области, ограниченной поверхностями (в цилиндрических координатах):
, и следующим граничным условиям:
.
(задача Дирихле-Неймана).