Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах. Решение задачи Дирихле для кольца
Пусть 
гармоническая функция. Тогда
или 
.
Рассмотрим цилиндрические координаты
,
откуда
.
Заменяя независимые переменные 
на 
и 
, придем к функции 
. Используя правило дифференцирования сложной функции нескольких переменных, можно показать, что найденная функция должна удовлетворять уравнению
.
Это и есть уравнение Лапласа в цилиндрических координатах.
Если функция 
не зависит от , а только от 
и 
, то функция 
будет удовлетворять уравнению
, (III.26)
где 
и 
полярные координаты на плоскости.
Найдем решение уравнения Лапласа в области 
, ограниченной окружностями 
и 
и удовлетворяющее граничным условиям:
, (III.27)
где 
постоянные.
Решим эту задачу в полярных координатах. Целесообразно искать решение, не зависящее от 
, так как граничные условия от не зависят. Уравнение (III.26) в этом случае примет вид
.
Очевидно, что это обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка. Понижая порядок и интегрируя его, найдем
. (III.28)
Постоянные 
и 
определяются из граничных условий (III.27)
, 
.
Подставляя найденные значения и в формулу (III.28), окончательно получим
.
Замечание. Фактически решена задача нахождения функции , удовлетворяющей уравнению Лапласа в области, ограниченной поверхностями (в цилиндрических координатах): 
, и следующим граничным условиям:
.
(задача Дирихле-Неймана).