Решение уравнения теплопроводности
Пусть в начальный момент времени задана температура в различных сечениях стержня. Концы стержня погружены в тающий лед, т. е. в них поддерживается постоянная температура равная нулю. Требуется определить распределение температуры в стержне в последующие моменты времени. Таким образом, нужно найти решение дифференциального уравнения
,
удовлетворяющее краевым условиям
.
Применяя к решению поставленной задачи метод разделения переменных можно получить решение уравнения, удовлетворяющее граничным условиям, в виде
. (III.21)
Коэффициенты 
выбираются так, чтобы удовлетворялось начальное условие, согласно которому будем иметь
.
Заметим, что из равенства (III.21) следует, что при 
функция u(x,t)→0. Физический смысл этого соотношения ясен: с течением времени в стержне установится температура льда, в который погружены его концы.
Если стержень очень длинный, то на процессы, протекающие в его средней части, главное влияние оказывает начальное распределение температуры. В задачах такого типа стержень считается бесконечным. Краевые условия при этом не учитываются, и на искомую функцию 
накладывают только начальное условие
, (III.22)
где функция 
определена на всей числовой оси. Задача решения уравнения теплопроводности при условии (III.22) называется задачей Коши.
Метод разделения переменных позволяет найти решение уравнения в следующем виде
.
Функции 
и 
выбирают так, чтобы выписанное решение удовлетворяло начальному условию (III.22). Полагая в последнем равенстве 
, получим
.
Сравнивая интеграл в правой части равенства с интегралом Фурье для функции :
,
видим, что
,
.
Подставляя найденные выражения и в функцию и преобразовывая ее, окончательно получим
.