Решение волнового уравнения методом разделения переменных (метод Фурье)

Метод разделения переменных применяется для решения многих задач математической физики. Пусть требуется найти решение волнового уравнения

, (III.9)

удовлетворяющее краевым условиям

, , (III.10), (III.11)

, . (III.12), (III.13)

Частное решение уравнения (III.9), удовлетворяющее граничным условиям (III.10) и (III.11), ищут в виде произведения двух функций:

Подставляя функцию в уравнение (III.9) и преобразовывая его, получим

В левой части этого уравнения стоит функция, которая не зависит от , а в правой – функция, не зависящая от . Равенство возможно только в том случае, когда левая и правая части не зависят ни от , ни от , т. е. равны постоянному числу. Обозначим

, где . (III.14)

Из этих уравнений получаем два однородных дифференциальных уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

и . (III.15)

Общее решение этих уравнений

где произвольные постоянные.

Постоянные и подбирают так, чтобы выполнялись условия (III.10) и (III.11), из которых следует, что , так как (в противном случае ). Учитывая полученные равенства, находим

и .

Так как (иначе, было бы и , что противоречит условию), то должно выполняться равенство

откуда,

Найденные значения называют собственными значениями (они в совокупности образуют спектр) для данной краевой задачи. Соответствующие им функции называются собственными или спектральными функциями.

Заметим, что, если в равенстве (III.14) вместо взять число , то первое из уравнений (III.15) будет иметь решение в виде

Отличное от нуля решение в такой форме не может удовлетворять граничным условиям (III.10) и (III.11).

Зная , можем записать

Для каждого получаем решение уравнения (III.9)

Так как исходное уравнение (III.9) линейное и однородное, то сумма решений также является решением, и потому функция

(III.16)

будет решением дифференциального уравнения (III.9), удовлетворяющим граничным условиям (III.10) и (III.11).

Найденное частное решение должно еще удовлетворять начальным условиям (III.12) и (III.13). Из первого условия (III.12) получим

Далее, дифференцируя члены ряда (III.16) по переменной , из условия (III.13) будем иметь

Правые части двух последних равенств есть ряды Фурье для функций и , разложенных по синусам на интервале . Поэтому

. (III.17)

Итак, ряд (III.16), для которого коэффициенты и определяются по выписанным формулам, если он допускает двукратное почленное дифференцирование, представляет решение уравнения (III.9), удовлетворяющее граничным и начальным условиям.