Решение волнового уравнения методом разделения переменных (метод Фурье)
Метод разделения переменных применяется для решения многих задач математической физики. Пусть требуется найти решение волнового уравнения
, (III.9)
удовлетворяющее краевым условиям
, , (III.10), (III.11)
,
. (III.12), (III.13)
Частное решение уравнения (III.9), удовлетворяющее граничным условиям (III.10) и (III.11), ищут в виде произведения двух функций:
.
Подставляя функцию в уравнение (III.9) и преобразовывая его, получим
.
В левой части этого уравнения стоит функция, которая не зависит от , а в правой – функция, не зависящая от
. Равенство возможно только в том случае, когда левая и правая части не зависят ни от
, ни от
, т. е. равны постоянному числу. Обозначим
, где
. (III.14)
Из этих уравнений получаем два однородных дифференциальных уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
и
. (III.15)
Общее решение этих уравнений
,
,
где произвольные постоянные.
Постоянные и
подбирают так, чтобы выполнялись условия (III.10) и (III.11), из которых следует, что
, так как
(в противном случае
). Учитывая полученные равенства, находим
и .
Так как (иначе, было бы
и
, что противоречит условию), то должно выполняться равенство
,
откуда,
.
Найденные значения называют собственными значениями (они в совокупности образуют спектр) для данной краевой задачи. Соответствующие им функции
называются собственными или спектральными функциями.
Заметим, что, если в равенстве (III.14) вместо взять число
, то первое из уравнений (III.15) будет иметь решение в виде
.
Отличное от нуля решение в такой форме не может удовлетворять граничным условиям (III.10) и (III.11).
Зная , можем записать
.
Для каждого получаем решение уравнения (III.9)
.
Так как исходное уравнение (III.9) линейное и однородное, то сумма решений также является решением, и потому функция
(III.16)
будет решением дифференциального уравнения (III.9), удовлетворяющим граничным условиям (III.10) и (III.11).
Найденное частное решение должно еще удовлетворять начальным условиям (III.12) и (III.13). Из первого условия (III.12) получим
.
Далее, дифференцируя члены ряда (III.16) по переменной , из условия (III.13) будем иметь
.
Правые части двух последних равенств есть ряды Фурье для функций и
, разложенных по синусам на интервале
. Поэтому
. (III.17)
Итак, ряд (III.16), для которого коэффициенты и
определяются по выписанным формулам, если он допускает двукратное почленное дифференцирование, представляет решение уравнения (III.9), удовлетворяющее граничным и начальным условиям.
Пример 6. Найти решение краевой задачи для волнового уравнения
,
,
,
удовлетворяющее начальным условиям ,
и граничным условиям
,
.
Так как , то согласно формуле (III.16) решение заданного уравнения ищем в виде
.
Коэффициенты и
найдем по формулам (III.17). При вычислении интегралов используем формулу интегрирования по частям.
.
Итак, искомое решение уравнения имеет вид
.