Колебания бесконечной струны. Формула Даламбера решения задачи Коши для волнового уравнения.
Прежде чем решать задачу о колебаниях закрепленной струны, рассмотрим более простую задачу – о колебаниях бесконечной струны. Если представить очень длинную струну, то ясно, что на колебания, возникающие в ее средней части, концы струны не будут оказывать заметного влияния.
Рассматривая свободные колебания, мы должны решить однородное уравнение
(III.6)
при начальных условиях
,
, (III.7)
где функции и
заданы на всей числовой оси. Такая задача называется задачей с начальными условиями или задачей Коши.
Преобразуем волновое уравнение к каноническому виду, содержащему смешанную производную. Уравнение характеристик
распадается на два уравнения:
и ,
интегралами которых служат прямые
и .
Введем в рассмотрение новые переменные , и запишем волновое уравнение для переменных и
.
Вычисляя производные
,
,
,
,
и подставляя их в исходное уравнение, видим, что уравнение колебания струны в новых координатах будет
.
Интегрируя полученное равенство по при фиксированном
, придем к равенству
. Интегрируя это равенство по
при фиксированном
, получим
,
где и
являются функциями только переменных
и
соответственно. Следовательно, общим решением исходного уравнения является функция
. (III.8)
Найдем функции и
так, чтобы удовлетворялись начальные условия:
.
,
.
Интегрируя последнее равенство, получим:
,
где и
постоянные. Из системы уравнений
находим
Таким образом, мы определили функции и
через заданные функции
и
, причем полученные равенства должны иметь место для любого значения аргумента. Подставляя в (III.8) найденные значения
и
, будем иметь
или
.
Найденное решение называется формулой Даламбера решения задачи Коши для волнового уравнения
Пример 5. Решить уравнение при начальных условиях
,
.
Используя формулу Даламбера, сразу получаем
.