Колебания бесконечной струны. Формула Даламбера решения задачи Коши для волнового уравнения.

Прежде чем решать задачу о колебаниях закрепленной струны, рассмотрим более простую задачу – о колебаниях бесконечной струны. Если представить очень длинную струну, то ясно, что на колебания, возникающие в ее средней части, концы струны не будут оказывать заметного влияния.

Рассматривая свободные колебания, мы должны решить однородное уравнение

(III.6)

при начальных условиях

, , (III.7)

где функции и заданы на всей числовой оси. Такая задача называется задачей с начальными условиями или задачей Коши.

Преобразуем волновое уравнение к каноническому виду, содержащему смешанную производную. Уравнение характеристик

распадается на два уравнения:

и ,

интегралами которых служат прямые

и .

Введем в рассмотрение новые переменные , и запишем волновое уравнение для переменных и .

Вычисляя производные

, ,

и подставляя их в исходное уравнение, видим, что уравнение колебания струны в новых координатах будет

Интегрируя полученное равенство по при фиксированном , придем к равенству . Интегрируя это равенство по при фиксированном , получим

где и являются функциями только переменных и соответственно. Следовательно, общим решением исходного уравнения является функция

. (III.8)

Найдем функции и так, чтобы удовлетворялись начальные условия:

Интегрируя последнее равенство, получим:

где и постоянные. Из системы уравнений

находим

Таким образом, мы определили функции и через заданные функции и , причем полученные равенства должны иметь место для любого значения аргумента. Подставляя в (III.8) найденные значения и , будем иметь