Розв’язування лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами
Розв’язок однорідного диференціального рівняння
Нехай потрібно знайти розв’язок диференціального рівняння
(2.31)
із заданими початковими умовами при :
,
, …,
(2.32)
Помножимо рівняння (2.31) на і зінтегруємо за
у межах від 0 до +¥. Для зображення
дістанемо лінійне алгебраїчне рівняння
Розв’язуючи це рівняння, дістаємо для подання у вигляді правильного раціонального дробу:
,
,
. (2.33)
Нулі знаменника є характеристичними показниками розв’язків диференціального рівняння (2.31). Знайти оригінал
— розв’язок рівняння (2.31) можна за допомогою другої теореми розкладу.
Приклад. Знайдемо розв’язки диференціального рівняння
,
,
,
.
Для зображення маємо алгебраїчне рівняння
,
.
Використовуючи таблицю оригіналів і зображень, дістаємо шуканий розв’язок диференціального рівняння:
.
Розв’язок неоднорідного диференціального рівняння
Аналогічно можна знайти розв’язок неоднорідного диференціального рівняння
, (2.34)
якщо зображення правої частини
є правильним раціональним дробом, тобто є, у свою чергу, розв’язком деякого лінійного диференціального рівняння зі сталим коефіцієнтами.
Приклад. Знайдемо розв’язок диференціального рівняння
,
,
.
Для зображення розв’язку
дістанемо рівняння
,
з якого знаходимо і відповідний оригінал:
;
.
Частинні розв’язки рівняння (2.34) можна знайти, якщо шукати оригінал, що відповідає полюсам зображення . Наприклад, диференціальне рівняння
(2.35)
зведемо до рівняння для зображення
,
де ,
— правильні раціональні дроби згідно з (2.33). Маємо:
.
Якщо показник відмінний від нулів
, тобто відмінний від характеристичних показників диференціального рівняння (2.31), то враховуючи лише особливо точку
, дістаємо частинні розв’язки рівняння (2.35):
. (2.36)
Будемо шукати частинний розв’язок рівняння (2.34) з нульовими початковими умовами. Для зображення маємо рівняння
,
.
Для зображення
знаходимо оригінал у вигляді згортки функції
і
.
Знайдемо оригінал для функції
(2.37)
і дістанемо частинні розв’язки неоднорідного рівняння (2.34):
. (2.38)
Ця формула давно відома в теорії диференціальних рівнянь і називається формулою Коші. Тут — частинний розв’язок однорідного диференціального рівняння (2.31) з початковими умовами
,
, …,
,
. (2.39)
Приклад. Розглянемо диференціальне рівняння
,
,
.
З формули (2.37) знаходимо
.
Формула Коші набирає вигляду
.
Функція називається функцією Коші.
Розв’язування системи диференціальних рівнянь
Перетворення Лапласа можна застосовувати для розв’язування системи лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами:
(2.40)
Позначимо через зображення за Лапласом шуканих функцій
, а через
зображення функцій
. Приходимо до системи лінійних алгебраїчних рівнянь:
(2.41)
Позначимо через визначник цієї системи
Нулі визначника є характеристичними показниками розв’язків лінійних диференціальних рівнянь (2.47). Якщо позначити через алгебраїчні доповнення елементів визначника
, то розв’язок системи (2.41) набере вигляду
. (2.42)
Розв’язок
можна знайти за відомими зображеннями
.
Той самий результат дістанемо за допомогою матричного запису. Введемо позначення для матриць і векторів:
,
,
,
,
,
.
Система диференціальних рівнянь (2.47) набирає вигляду
.
Для зображення вектора
дістанемо систему рівнянь
,
що має розв’язок
. (2.43)
Оскільки оригіналом для матриці є матриця
, то оригіналом для
буде розв’язок
, що визначається за формулою
. (2.44)
Приклад. Знайдемо фундаментальну матрицю розв’язків системи лінійних алгебраїчних рівнянь:
,
.
¨ Складемо матрицю
.
Її оригіналом буде фундаментальна матриця розв’язків
,
нормована в точці .
Аналогічно відшукуємо розв’язок системи m лінійних диференціальних рівнянь різного порядку, яку можна записати в матричному вигляді:
. (2.45)
Для зображення розв’язка
дістанемо систему лінійних алгебраїчних рівнянь з поліноміальними відносно р коефіцієнтами:
, (2.46)
де використовуються такі позначення:
,
,
,
(2.47)
Якщо , то знаходимо зображення розв’язку
(2.48)
і відповідний оригінал. Якщо позначити оригінал
,
де s — досить велике число, то розв’язок можна подати у вигляді
. (2.49)
Лінійні диференціально-різницеві рівняння
Перетворення Лапласа виявилося ефективним у дослідженні системи лінійних диференціальних рівнянь з відхильним аргументом. Для простоти розглянемо випадок системи лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами і сталими загаяннями коефіцієнтів:
,
,
(2.50)
Припускаємо, що при задано початкові умови
.
Нехай ,
. Припустивши, що вектор
має дробово-раціональні проекції, дістанемо для зображення
систему лінійних алгебраїчних рівнянь
, (2.51)
де
Означення. Корені трансцендентного рівняння
(2.52)
називаються характеристичними показниками розв’язків системи рівнянь (2.50) при .
Частинні розв’язки системи рівнянь (2.51) можна знайти з допомогою такої теореми.
Теорема. Якщо
, то однорідна система рівнянь (2.51) при
має частинні розв’язки
.
Оскільки характеристичне рівняння має, звичайно, нескінченну кількість коренів, то однорідна система рівнянь (2.51) має нескінченну кількість частинних розв’язків.
При у будь-якій півплощині
міститься лише скінченна кількість коренів рівняння
і полюсів вектора
. Цю обставину можна використовувати для асимптотичного при
розкладу оригіналу
,
де — корені рівняння
і полюси
, занумеровані в порядку незростання дійсних частин.
Приклад. Знайдемо умови стійкості розв’язків лінійного диференціального рівняння з аргументом, що запізнюється
,
,
. (2.53)
¨ Шукаємо корені характеристичного рівняння
з найбільшою дійсною частиною. При рівняння має один частинний розв’язок
. У разі неперервного збільшення
характеристичне рівняння має нескінченну кількість коренів, які неперервно переміщуються по комплексній площині
і можуть потрапити в півплощину
. На межі області нестійкості характеристичне рівняння має суто уявний корінь
:
,
.
Знаходимо найменше додатне значення , при якому рівняння має дійсне значення
.
При розв’язки рівняння (2.53) стійкі.
При розв’язки рівняння (2.53) нестійкі, бо характеристичне рівняння має корені з додатною дійсною частиною, причому з неявного рівняння знаходимо
.
Умова асимптотичної стійкості розв’язків рівняння (2.53) має вигляд .
Знайдемо розв’язок рівняння (2.53) з початковою умовою
,
,
.
Для зображення маємо рівняння
.
Методом послідовних наближень знайдемо розклад
і знаходимо відповідний розв’язок рівняння (2.53)
Тут — функція одиничного стрибка
,
.
Інтегро-диференціальні рівняння
Часто в застосуваннях доводиться стикатися з інтегро-диференціальними рівняннями виду
, (2.54)
де ядро виражається через експоненціально-поліноміальні функції і функція
є правильним раціональним дробом.
Нехай ,
.
Використовуючи згортку функцій, записуємо для зображення рівняння
,
де многочлен залежить від початкових значень:
.
За відомим зображенням знаходимо оригінал
.
Приклад. Розв’язати рівняння
,
.
¨ Для зображення дістаємо алгебраїчне рівняння
,
з якого знаходимо розв’язок :
,
.
Приклад. Розглянемо систему лінійних диференціальних рівнянь
,
,
.
З першого рівняння знаходимо вираз
.
Підставляючи у друге рівняння, дістаємо інтегро-диференціальне рівняння
.
Для зображення знаходимо рівняння
,
з якого маємо:
,
,
.
Остаточно
.
Розв’язування інтегро-диференціальних рівнянь за допомогою перетворення Лапласа аналогічне розв’язуванню диференціальних рівнянь.