Розвязування лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтам

Розв’язування лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами

Розв’язок однорідного диференціального рівняння

Нехай потрібно знайти розв’язок диференціального рівняння

(2.31)

із заданими початковими умовами при :

, , …, (2.32)

Помножимо рівняння (2.31) на і зінтегруємо за у межах від 0 до +¥. Для зображення дістанемо лінійне алгебраїчне рівняння

Розв’язуючи це рівняння, дістаємо для подання у вигляді правильного раціонального дробу:

, , . (2.33)

Нулі знаменника є характеристичними показниками розв’язків диференціального рівняння (2.31). Знайти оригінал — розв’язок рівняння (2.31) можна за допомогою другої теореми розкладу.

Приклад. Знайдемо розв’язки диференціального рівняння

, , , .

Для зображення маємо алгебраїчне рівняння

Використовуючи таблицю оригіналів і зображень, дістаємо шуканий розв’язок диференціального рівняння:

Розв’язок неоднорідного диференціального рівняння

Аналогічно можна знайти розв’язок неоднорідного диференціального рівняння

, (2.34)

якщо зображення правої частини є правильним раціональним дробом, тобто є, у свою чергу, розв’язком деякого лінійного диференціального рівняння зі сталим коефіцієнтами.

Приклад. Знайдемо розв’язок диференціального рівняння

, , .

Для зображення розв’язку дістанемо рівняння

з якого знаходимо і відповідний оригінал:

;
.

Частинні розв’язки рівняння (2.34) можна знайти, якщо шукати оригінал, що відповідає полюсам зображення . Наприклад, диференціальне рівняння

(2.35)

зведемо до рівняння для зображення

де , — правильні раціональні дроби згідно з (2.33). Маємо:

Якщо показник відмінний від нулів , тобто відмінний від характеристичних показників диференціального рівняння (2.31), то враховуючи лише особливо точку , дістаємо частинні розв’язки рівняння (2.35):

. (2.36)

Будемо шукати частинний розв’язок рівняння (2.34) з нульовими початковими умовами. Для зображення маємо рівняння

, .

Для зображення

знаходимо оригінал у вигляді згортки функції

і .

Знайдемо оригінал для функції

(2.37)

і дістанемо частинні розв’язки неоднорідного рівняння (2.34):

. (2.38)

Ця формула давно відома в теорії диференціальних рівнянь і називається формулою Коші. Тут — частинний розв’язок однорідного диференціального рівняння (2.31) з початковими умовами

, , …, , . (2.39)

Приклад. Розглянемо диференціальне рівняння

, , .

З формули (2.37) знаходимо

Формула Коші набирає вигляду

Функція називається функцією Коші.

Розв’язування системи диференціальних рівнянь

Перетворення Лапласа можна застосовувати для розв’язування системи лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами:

(2.40)

Позначимо через зображення за Лапласом шуканих функцій , а через зображення функцій . Приходимо до системи лінійних алгебраїчних рівнянь:

(2.41)

Позначимо через визначник цієї системи

Нулі визначника є характеристичними показниками розв’язків лінійних диференціальних рівнянь (2.47). Якщо позначити через алгебраїчні доповнення елементів визначника , то розв’язок системи (2.41) набере вигляду

. (2.42)

Розв’язок можна знайти за відомими зображеннями .

Той самий результат дістанемо за допомогою матричного запису. Введемо позначення для матриць і векторів:

, , ,
, , .

Система диференціальних рівнянь (2.47) набирає вигляду

Для зображення вектора дістанемо систему рівнянь

що має розв’язок

. (2.43)

Оскільки оригіналом для матриці є матриця , то оригіналом для буде розв’язок , що визначається за формулою

. (2.44)

Приклад. Знайдемо фундаментальну матрицю розв’язків системи лінійних алгебраїчних рівнянь:

, .

¨ Складемо матрицю

Її оригіналом буде фундаментальна матриця розв’язків

нормована в точці .

Аналогічно відшукуємо розв’язок системи m лінійних диференціальних рівнянь різного порядку, яку можна записати в матричному вигляді:

. (2.45)

Для зображення розв’язка дістанемо систему лінійних алгебраїчних рівнянь з поліноміальними відносно р коефіцієнтами:

, (2.46)

де використовуються такі позначення:

, ,

, (2.47)

Якщо , то знаходимо зображення розв’язку

(2.48)

і відповідний оригінал. Якщо позначити оригінал

де s — досить велике число, то розв’язок можна подати у вигляді

. (2.49)

Лінійні диференціально-різницеві рівняння

Перетворення Лапласа виявилося ефективним у дослідженні системи лінійних диференціальних рівнянь з відхильним аргументом. Для простоти розглянемо випадок системи лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами і сталими загаяннями коефіцієнтів:

, , (2.50)

Припускаємо, що при задано початкові умови

Нехай , . Припустивши, що вектор має дробово-раціональні проекції, дістанемо для зображення систему лінійних алгебраїчних рівнянь

, (2.51)

де

Означення. Корені трансцендентного рівняння

(2.52)

називаються характеристичними показниками розв’язків системи рівнянь (2.50) при .

Частинні розв’язки системи рівнянь (2.51) можна знайти з допомогою такої теореми.

Теорема. Якщо , то однорідна система рівнянь (2.51) при має частинні розв’язки

Оскільки характеристичне рівняння має, звичайно, нескінченну кількість коренів, то однорідна система рівнянь (2.51) має нескінченну кількість частинних розв’язків.

При у будь-якій півплощині міститься лише скінченна кількість коренів рівняння і полюсів вектора . Цю обставину можна використовувати для асимптотичного при розкладу оригіналу

де — корені рівняння і полюси , занумеровані в порядку незростання дійсних частин.

Приклад. Знайдемо умови стійкості розв’язків лінійного диференціального рівняння з аргументом, що запізнюється

, , . (2.53)

¨ Шукаємо корені характеристичного рівняння

з найбільшою дійсною частиною. При рівняння має один частинний розв’язок . У разі неперервного збільшення характеристичне рівняння має нескінченну кількість коренів, які неперервно переміщуються по комплексній площині і можуть потрапити в півплощину . На межі області нестійкості характеристичне рівняння має суто уявний корінь :