Межі областей нестійкості системи рівнянь другого порядку

Розглянемо систему лінійних диференціальних рівнянь з періодичними коефіцієнтами

(5.14)

де — -вимірний вектор, — дійсний параметр, — -періодичні відносно матриці розміру які розкладаються в ряд Фурьє:

Коефіцієнти

(5.15)

задовольняють умови

Матриця С — діагональна з елементами .

Припускаємо, що система (5.14) зворотна [11], тобто виконується хоча б одна з умов:

1. Система не змінює свого вигляду при заміні на :

2. Система (5.14) є самоспряженою для всіх :

Шукаємо розв’язок системи (5.14) у формі Флоке

(5.16)

Для векторів дістанемо нескінченну систему лінійних алгебраїчних рівнянь

(5.17)

де

(5.18)

При система (5.14) має характеристичні показники Резонанс у зворотній системі можливий при достатньо малих якщо

При нескінченна матриця коефіцієнтів системи (5.17) перетворюється на діагональну матрицю з елементами

(5.19)

При у випадку резонансу кілька коефіцієнтів перетворюються на нуль. Невідомі коефіцієнти при яких перетворюються на нуль, назвемо особливими. Рядки і стовпці нескінченної матриці коефіцієнтів системи (5.17) будемо називати особливими, якщо вони містять один з елементів , такий що Систему рівнянь (5.17) можна звести при досить малих значеннях до скінченної системи лінійних алгебраїчних рівнянь.

У першому наближенні коефіцієнтами цієї системи будуть елементи матриці системи рівнянь (5.17), які лежать на перетині особливих рядків і стовпців.

Розглянемо випадок простого резонансу, коли Нехай резонансне відношення

(5.20)

виконується лише для одного набору Рівняння (4.35) набирає вигляду

(5.21)

де введено позначення

Використовуємо комплексні змінні :

Розкладаючи елементи визначника (5.21) за степенями і залишаючи у здобутому рівнянні лише члени нижчого порядку малості, прийдемо до квадратного рівняння відносно

Умова кратності коренів цього рівняння визначає межі області нестійкості в першому наближенні:

(5.22)

При виведенні цієї формули враховувалось, що для зворотних систем завжди виконано умови:

При до точки прилягає область нестійкості. При розв’язки системи (5.14) будуть стійкими при досить малих значеннях При питання про стійкість не розв’язується в першому наближенні.

Формули для меж області нестійкості для резонансної частоти виду

можна дістати з (10) заміною на

Зауваження. Рівняння виду (5.22) для системи (5.14) у випадку, коли , дістав І. Г. Малкін [56].

Виведення формул для меж області нестійкості у другому наближенні пов’язане з громіздкими обчисленнями. Тому розглянемо простішу за (5.14) систему:

(5.23)

Тут —дійсно-ермітова матриця. Для визначення характеристичних показників приходимо до рівняння (5.21), де

(5.24)

Штрих у сумі тут і далі позначає, що із суми вилучають два доданки, в яких при знаменник перетворюється на нуль. Вони відповідають значенням індексів

У другому наближенні враховуються лише елементи матриці коефіцієнтів системи (5.17), що розміщені на головній діагоналі, а також на особливих рядках і стовпцях.

Подамо докладне виведення рівнянь межі області нестійкості для системи (5.23). Підставивши в (5.24) значення

дістанемо:

(5.25)

де

(5.26)

Після ділення елементів визначника (5.21) на дістанемо рівняння для характеристичних показників:

Для відшукання симетричних формул робимо заміну

Попереднє рівняння набирає вигляду

Введемо позначення для матриць

Рівняння (5.27) може бути записане у вигляді

(5.27)

Застосовуємо до цього рівняння спосіб перетворення, запропонований в підрозд. 1.6. А саме, розкладемо матрицю визначника (5.27) на три матричні множники. Візьмемо

Це рівняння можна записати у вигляді

(5.28)

Матриці знайдемо за допомогою методу послідовних наближень. Підставляючи значення і беручи з (5.28), дістаємо:

Звідси і у першому наближенні:

Підставивши ці значення у (5.28), дістанемо у другому наближенні:

(5.29)

У наступних наближеннях члени другого порядку малості не змінюються.

У частинному випадку, повторюючи аналогічні перетворення для рівняння

(5.30)

бачимо, що з точністю до нескінченного другого порядку його можна перетворити на рівняння

(5.31)

Підставляючи конкретні значення матриць у (5.29), після перетворення дістаємо:

Характеристичні показники визначаємо з рівняння

Для кратності коренів цього рівняння необхідно і достатньо, щоб його дискримінант дорівнював нулю. Цю умову можна записати у вигляді рівняння

де

Здобуте рівняння виду (5.30) перетворимо до вигляду (5.31). Для матриці дістенемо вираз

Рівняння для меж області нестійкості у просторі параметрів набирає вигляду

або

звідки знаходимо рівняння меж:

(5.32)

Тут позначено

Остаточно рівняння (5.32) приводимо до рівняння меж області нестійкості

(5.33)

де

Приклад. Знайдемо область комбінаційного резонансу системи

Тут — малі одного порядку малості. Відповідно до позначень знайдемо

З формули (5.33) дістанемо рівняння межі у другому наближенні:

Розглянемо в першому наближенні деякі складні резонансні випадки. Основні результати будуть формулюватися для системи виду (5.23).

Розглянемо випадок складного комбінаційного резонансу на частотах Візьмемо

(5.34)

Рівняння (4.32) в цьому випадку набере вигляду

(5.35)

Введемо позначення

Тоді рівняння (5.35) набере вигляду

або

(5.36)

Усі коефіцієнти рівняння (5.36) є дійсними для випадку системи (5.23). Складемо дискримінант рівняння (5.36):

Якщо то корені многочлена (5.36) дійсні і різні, а тому всі резонансні характеристичні показники є суто уявними. Маємо стійкість розв’язків. А якщо то два корені рівнянь (5.36) будуть комплексними, і, таким чином, знайдеться характеристичний показник з додатною дійсною частиною. Маємо нестійкість розв’язку. Дискримінант є многочленом шостого степеня:

Тому рівняння може мати шість дійсних коренів, і на площині до резонансної частоти можуть прилягати три (або менше) області нестійкості. Якщо в (5.34) візьмемо то дістанемо

(5.37)

Тоді буде многочленом степеня, не вищого за четвертий від

Приклад. Наведемо систему лінійних диференціальних рівнянь другого порядку, для якої до критичної точки прилягають у випадку (5.35) три області нестійкості.

Побудуємо рівняння (5.35) для системи трьох диференціальних рівнянь:

(5.38)

Спостерігається складний комбінаційний резонанс:

Рівняння (5.35) набере вигляду

(5.39)

Припустимо, що , тоді рівняння (5.39) має вигляд . Воно має кратні корені при При достатньо малих значеннях у першому наближенні до цих випадків кратних коренів відповідають рівняння: