Межі областей нестійкості системи рівнянь другого порядку
Розглянемо систему лінійних диференціальних рівнянь з періодичними коефіцієнтами
(5.14)
де —
-вимірний вектор,
— дійсний параметр,
—
-періодичні відносно
матриці розміру
які розкладаються в ряд Фурьє:
Коефіцієнти
(5.15)
задовольняють умови
Матриця С — діагональна з елементами
.
Припускаємо, що система (5.14) зворотна [11], тобто виконується хоча б одна з умов:
1. Система не змінює свого вигляду при заміні на
:
2. Система (5.14) є самоспряженою для всіх :
Шукаємо розв’язок системи (5.14) у формі Флоке
(5.16)
Для векторів дістанемо нескінченну систему лінійних алгебраїчних рівнянь
(5.17)
де
(5.18)
При система (5.14) має характеристичні показники
Резонанс у зворотній системі можливий при достатньо малих
якщо
При
нескінченна матриця коефіцієнтів системи (5.17) перетворюється на діагональну матрицю з елементами
(5.19)
При у випадку резонансу кілька коефіцієнтів
перетворюються на нуль. Невідомі
коефіцієнти при яких перетворюються на нуль, назвемо особливими. Рядки і стовпці нескінченної матриці коефіцієнтів системи (5.17) будемо називати особливими, якщо вони містять один з елементів
, такий що
Систему рівнянь (5.17) можна звести при досить малих значеннях
до скінченної системи лінійних алгебраїчних рівнянь.
У першому наближенні коефіцієнтами цієї системи будуть елементи матриці системи рівнянь (5.17), які лежать на перетині особливих рядків і стовпців.
Розглянемо випадок простого резонансу, коли Нехай резонансне відношення
(5.20)
виконується лише для одного набору Рівняння (4.35) набирає вигляду
(5.21)
де введено позначення
Використовуємо комплексні змінні :
Розкладаючи елементи визначника (5.21) за степенями і залишаючи у здобутому рівнянні лише члени нижчого порядку малості, прийдемо до квадратного рівняння відносно
Умова кратності коренів цього рівняння визначає межі області нестійкості в першому наближенні:
(5.22)
При виведенні цієї формули враховувалось, що для зворотних систем завжди виконано умови:
При до точки
прилягає область нестійкості. При
розв’язки системи (5.14) будуть стійкими при досить малих значеннях
При
питання про стійкість не розв’язується в першому наближенні.
Формули для меж області нестійкості для резонансної частоти виду
можна дістати з (10) заміною на
Зауваження. Рівняння виду (5.22) для системи (5.14) у випадку, коли
, дістав І. Г. Малкін [56].
Виведення формул для меж області нестійкості у другому наближенні пов’язане з громіздкими обчисленнями. Тому розглянемо простішу за (5.14) систему:
(5.23)
Тут —дійсно-ермітова матриця. Для визначення характеристичних показників приходимо до рівняння (5.21), де
(5.24)
Штрих у сумі тут і далі позначає, що із суми вилучають два доданки, в яких при
знаменник перетворюється на нуль. Вони відповідають значенням індексів
У другому наближенні враховуються лише елементи матриці коефіцієнтів системи (5.17), що розміщені на головній діагоналі, а також на особливих рядках і стовпцях.
Подамо докладне виведення рівнянь межі області нестійкості для системи (5.23). Підставивши в (5.24) значення
дістанемо:
(5.25)
де
(5.26)
Після ділення елементів визначника (5.21) на дістанемо рівняння для характеристичних показників:
Для відшукання симетричних формул робимо заміну
.
Попереднє рівняння набирає вигляду
Введемо позначення для матриць
Рівняння (5.27) може бути записане у вигляді
(5.27)
Застосовуємо до цього рівняння спосіб перетворення, запропонований в підрозд. 1.6. А саме, розкладемо матрицю визначника (5.27) на три матричні множники. Візьмемо
Це рівняння можна записати у вигляді
(5.28)
Матриці знайдемо за допомогою методу послідовних наближень. Підставляючи значення
і беручи
з (5.28), дістаємо:
Звідси і
у першому наближенні:
Підставивши ці значення
у (5.28), дістанемо у другому наближенні:
(5.29)
У наступних наближеннях члени другого порядку малості не змінюються.
У частинному випадку, повторюючи аналогічні перетворення для рівняння
(5.30)
бачимо, що з точністю до нескінченного другого порядку його можна перетворити на рівняння
(5.31)
Підставляючи конкретні значення матриць у (5.29), після перетворення дістаємо:
Характеристичні показники визначаємо з рівняння
Для кратності коренів цього рівняння необхідно і достатньо, щоб його дискримінант дорівнював нулю. Цю умову можна записати у вигляді рівняння
де
Здобуте рівняння виду (5.30) перетворимо до вигляду (5.31). Для матриці дістенемо вираз
Рівняння для меж області нестійкості у просторі параметрів набирає вигляду
,
або
звідки знаходимо рівняння меж:
(5.32)
Тут позначено
Остаточно рівняння (5.32) приводимо до рівняння меж області нестійкості
(5.33)
де
Приклад. Знайдемо область комбінаційного резонансу системи
Тут — малі одного порядку малості. Відповідно до позначень знайдемо
З формули (5.33) дістанемо рівняння межі у другому наближенні:
Розглянемо в першому наближенні деякі складні резонансні випадки. Основні результати будуть формулюватися для системи виду (5.23).
Розглянемо випадок складного комбінаційного резонансу на частотах Візьмемо
(5.34)
Рівняння (4.32) в цьому випадку набере вигляду
(5.35)
Введемо позначення
Тоді рівняння (5.35) набере вигляду
,
або
(5.36)
Усі коефіцієнти рівняння (5.36) є дійсними для випадку системи (5.23). Складемо дискримінант рівняння (5.36):
Якщо то корені многочлена (5.36) дійсні і різні, а тому всі резонансні характеристичні показники є суто уявними. Маємо стійкість розв’язків. А якщо
то два корені рівнянь (5.36) будуть комплексними, і, таким чином, знайдеться характеристичний показник з додатною дійсною частиною. Маємо нестійкість розв’язку. Дискримінант
є многочленом шостого степеня:
.
Тому рівняння може мати шість дійсних коренів, і на площині
до резонансної частоти
можуть прилягати три (або менше) області нестійкості. Якщо в (5.34) візьмемо
то дістанемо
(5.37)
Тоді буде многочленом степеня, не вищого за четвертий від
Приклад. Наведемо систему лінійних диференціальних рівнянь другого порядку, для якої до критичної точки
прилягають у випадку (5.35) три області нестійкості.
Побудуємо рівняння (5.35) для системи трьох диференціальних рівнянь:
(5.38)
Спостерігається складний комбінаційний резонанс:
Рівняння (5.35) набере вигляду
(5.39)
Припустимо, що , тоді рівняння (5.39) має вигляд
. Воно має кратні корені при
При достатньо малих значеннях
у першому наближенні до цих випадків кратних коренів відповідають рівняння:
Уточнивши умову кратності коренів цих двох рівнянь, дістаємо рівняння меж областей нестійкості:
Рис. 5.1
На рис. 5.1 схематично подано області нестійкості. Різні області не зливаються, бо величини передбачалися досить малими.