Задачи и упражнения
1. Пусть G – множество точек прямой Y = X-2. Каковы свойства соответствия G?
2. Соответствия G1 – G8 определены графически на рис.1.27.
Рис.1.27.
Найти образы и прообразы: чисел 1,2,3,4; отрезков [2,3],[1,2],[2,4],[3,4],[3,5]. Каковы свойства соответствий?
1. Проверить, является ли отображение Сюръективным, инъективным?
A)(X) = EX; б)
(X) = X2+X3; в)
(X) = ln(1+|X|);
4. Чему равны композиции функций F (X) = 2X и G(X) = 1+X: и
?
5. Дано отображение, где A={1,2,3,4}, и такое же отображение
. Чему равна композиция отображений
? Найдите обратное отношение
, если:
6. Пусть . Какими свойствами обладает отношение
?
7. Доказать, что если – отношение эквивалентности на конечном множестве
и
, то
.
8. Привести примеры отношений:
А) не рефлексивного, но симметричного и транзитивного;
Б) не симметричного, но рефлексивного и транзитивного;
В) не транзитивного, но рефлексивного и симметричного.
B) 9. На множестве прямых на плоскости рассмотреть отношения:
А) параллельных прямых;
C) б) перпендикулярных прямых.
D) 10. На множестве , где
, определим отношение
:
. Доказать, что
– отношение эквивалентности на этом множестве.
E) 11. Доказать, что пересечение отношений эквивалентности на множестве есть отношение эквивалентности на этом множестве.
F) 12. Доказать, что объединение двух отношений эквивалентности
и
, заданных на множестве
, является отношением эквивалентности тогда и только тогда, когда
.
G) 13. Доказать, что если – частичный порядок, то и
– тоже частичный порядок.
H) 14. Привести пример линейного порядка на множестве , где
.
I) 15. Доказать, что всякий частичный порядок на конечном множестве может быть продолжен до линейного порядка.
J)
![]() |
16. На рис. 1.28 а-в изображены отношения ,
,
. Запишите с помощью фигурных скобок эти и обратные им отношения.
Рис. 1.28. Примеры отношений
K) 17. На множестве целых чисел заданы отношения «равно» и «кратно». Назовите обратные отношения.
L) 18. – центральная симметрия, при которой точка
переходит в точку
. Верно ли, что
?
19. Пусть есть множество Определить все отображения
Какие из них являются биекциями?
20. Даны множества И
и отношения
И
, которые имеют вид:
Являются ли эти отношения отображениями?
21. Покажите, что отображение определенное как
Является инъекцией.
Каким должно быть число , чтобы существовала сюръекция
в
, которая совпадает с
на
Покажите, что полученное отображение является биекцией.
22. Установите свойства отображения Определенного как
Где
23. Обозначим = [] множество целых
, таких что
Рассмотрите отображения
и
определенных выражениями
и
1) Является ли Инъекцией? cюръекцией?
2) Является ли Инъекцией? cюръекцией?
3) Для множеств
определить:
А)
и
Б) И
В)
и
Г) и
24. Пусть и
отображения. Докажите, что:
Если сюръекция
Сюръекция,
Если инъекция
Инъекция.
25. Пусть даны два отображения и
Исследуйте свойства
и
в каждом из случаев:
А)
Б)
В)
26. ПустьЯвляется множеством из трех попарно различных элементов
Отображение
Определяется циркуляционной перестановкой:
Композиции отображения обозначим
А) Докажите, что есть биекция;
Б) Найдите
В) Определите Что является обратным отображением для
и
27. Рассмотрите отображение Пусть
и
Æ Докажите что:
А)
Б)
В)
Г) если Инъекция