Задачи и упражнения
1. Пусть G – множество точек прямой Y = X-2. Каковы свойства соответствия G?
2. Соответствия G1 – G8 определены графически на рис.1.27.
Рис.1.27.
Найти образы и прообразы: чисел 1,2,3,4; отрезков [2,3],[1,2],[2,4],[3,4],[3,5]. Каковы свойства соответствий?
1. Проверить, является ли отображение 
Сюръективным, инъективным?
A)
(X) = EX; б) (X) = X2+X3; в) (X) = ln(1+|X|);
4. Чему равны композиции функций F (X) = 2X и G(X) = 1+X: 
и 
?
5. Дано отображение
, где A={1,2,3,4}, и такое же отображение 
. Чему равна композиция отображений 
? Найдите обратное отношение 
, если: 
6. Пусть 
. Какими свойствами обладает отношение 
?
7. Доказать, что если 
– отношение эквивалентности на конечном множестве 
и 
, то 
.
8. Привести примеры отношений:
А) не рефлексивного, но симметричного и транзитивного;
Б) не симметричного, но рефлексивного и транзитивного;
В) не транзитивного, но рефлексивного и симметричного.
B) 9. На множестве прямых на плоскости рассмотреть отношения:
А) параллельных прямых;
C) б) перпендикулярных прямых.
D) 10. На множестве 
, где 
, определим отношение 
: 
. Доказать, что – отношение эквивалентности на этом множестве.
E) 11. Доказать, что пересечение отношений эквивалентности на множестве 
есть отношение эквивалентности на этом множестве.
F) 12. Доказать, что объединение 
двух отношений эквивалентности 
и 
, заданных на множестве , является отношением эквивалентности тогда и только тогда, когда 
.
G) 13. Доказать, что если – частичный порядок, то и 
– тоже частичный порядок.
H) 14. Привести пример линейного порядка на множестве , где .
I) 15. Доказать, что всякий частичный порядок на конечном множестве может быть продолжен до линейного порядка.
J)
 |
16. На рис. 1.28 а-в изображены отношения , 
, . Запишите с помощью фигурных скобок эти и обратные им отношения.
Рис. 1.28. Примеры отношений
K) 17. На множестве целых чисел 
заданы отношения «равно» и «кратно». Назовите обратные отношения.
L) 18. – центральная симметрия, при которой точка 
переходит в точку 
. Верно ли, что 
?
19. Пусть есть множество 
Определить все отображения 
Какие из них являются биекциями?
20. Даны множества 
И 
и отношения 
И 
, которые имеют вид:
Являются ли эти отношения отображениями?
21. Покажите, что отображение 
определенное как
Является инъекцией.
Каким должно быть число 
, чтобы существовала сюръекция 
в 
, которая совпадает с 
на 
Покажите, что полученное отображение является биекцией.
22. Установите свойства отображения 
Определенного как
Где 
23. Обозначим = [
] множество целых , таких что
Рассмотрите отображения 
и 
определенных выражениями 
и 
1) Является ли Инъекцией? cюръекцией?
2) Является ли 
Инъекцией? cюръекцией?
3) Для множеств 
определить:
А) 
и 
Б) 
И 
В) 
и 
Г) 
и 
24. Пусть 
и 
отображения. Докажите, что:
Если 
сюръекция 
Сюръекция,
Если инъекция 
Инъекция.
25. Пусть даны два отображения 
и 
Исследуйте свойства 
и 
в каждом из случаев:
А) 
Б) 
В) 
26. Пусть
Является множеством из трех попарно различных элементов 
Отображение Определяется циркуляционной перестановкой:
Композиции отображения обозначим 
А) Докажите, что есть биекция;
Б) Найдите 
В) Определите 
Что является обратным отображением для и 
27. Рассмотрите отображение 
Пусть 
и 
Æ Докажите что:
А) 
Б) 
В) 
Г) если 
Инъекция