Раскрытие неопределенностей от дробно-рациональных функций
Дробно-рациональной функцией (рациональной дробью) называется отношение двух многочленов вида:
, (3.3)
где – степень многочлена числителя,
– степень многочлена знаменателя.
Предел от дробно-рациональной функции при может приводить к математической неопределенности
или при
к неопределенности
. Рассмотрим подробнее методы раскрытия этих неопределенностей.
1. Для раскрытия неопределенности от многочленов, стоящих в числителе и знаменателе дробно-рациональной функции, выносят за скобки переменную в наибольшей степени:
, где
.
Возможны три случая формулы (3.3):
а) при предел равен отношению коэффициентов, стоящих при наибольших степенях переменной;
б) при предел всегда равен
;
в) при предел всегда равен нулю.
Пример 3.1. Вычислить предел функции .
Решение.
Пример 3.2. Вычислить предел функции .
Решение.
Пример 3.3. Вычислить предел функции .
Решение. .
2. В случае, когда предел от дробно-рациональной функции
приводит к математической неопределенности при
, можно сделать вывод о том, что число
является корнем многочленов числителя и знаменателя, то есть
,
. Учитывая кратность корня каждого из многочленов, последние можно разложить на множители следующим образом:
=
, где s – кратность корня
числителя; k - кратность корня
знаменателя. Возможны три случая:
а) при предел
=
. (3.4)
б) при предел всегда равен
;
в) при предел всегда равен нулю.
Пример 3.4. Вычислить предел функции .
Решение. В данном случае имеем неопределенность . Для ее устранения числитель и знаменатель приравняем к нулю и найдем корни полученных квадратных уравнений. Разложим трехчлены, стоящие в числителе и знаменателе дроби на линейные множители, получим:
3. Неопределенность возникает не только при вычислении пределов от дробно-рациональных функций, но и от иррациональных выражений.
Пример 3.5. Вычислить предел функции
.
Решение. В этом случае числитель и знаменатель дроби домножаем на сопряженное выражение с целью получения разности квадратов:
Замечание. При наличии кубических корней у функции, стоящей под знаком предела, производят домножение на неполный квадрат суммы (разности) с целью применения формулы разности кубов.
4. При вычислении пределов от тригонометрических функций часто приходят к так называемому первому замечательному пределу:
. (3.5)
Пример 3.6. Вычислить предел функции .
Решение. , так как
5. Математическая неопределенность устраняется при помощи второго замечательного предела, имеющего две формы записи:
или (3.6)
(3.7)
Пример 3.7. Вычислить предел функции .
Решение.
Вопросы для самопроверки.
1. Какая функция называется дробно-рациональной?
2. К каким математическим неопределенностям может приводить предел от дробно-рациональной и иррациональной функции?
3. Как раскрыть математическую неопределенность при
?
4. Как раскрыть математическую неопределенность при
?
5. Какие математические неопределенности раскрываются с помощью первого и второго замечательных пределов?