Раскрытие неопределенностей от дробно-рациональных функций

Дробно-рациональной функцией (рациональной дробью) называется отношение двух многочленов вида:

, (3.3)

где – степень многочлена числителя, – степень многочлена знаменателя.

Предел от дробно-рациональной функции при может приводить к математической неопределенности или при к неопределенности . Рассмотрим подробнее методы раскрытия этих неопределенностей.

1. Для раскрытия неопределенности от многочленов, стоящих в числителе и знаменателе дробно-рациональной функции, выносят за скобки переменную в наибольшей степени: , где .

Возможны три случая формулы (3.3):

а) при предел равен отношению коэффициентов, стоящих при наибольших степенях переменной;

б) при предел всегда равен ;

в) при предел всегда равен нулю.

Пример 3.1. Вычислить предел функции .

Решение.

Пример 3.2. Вычислить предел функции .

Решение.

Пример 3.3. Вычислить предел функции .

Решение. .

2. В случае, когда предел от дробно-рациональной функции

приводит к математической неопределенности при , можно сделать вывод о том, что число является корнем многочленов числителя и знаменателя, то есть , . Учитывая кратность корня каждого из многочленов, последние можно разложить на множители следующим образом:

= , где s – кратность корня числителя; k - кратность корня знаменателя. Возможны три случая:

а) при предел = . (3.4)

б) при предел всегда равен ;

в) при предел всегда равен нулю.

Пример 3.4. Вычислить предел функции .

Решение. В данном случае имеем неопределенность . Для ее устранения числитель и знаменатель приравняем к нулю и найдем корни полученных квадратных уравнений. Разложим трехчлены, стоящие в числителе и знаменателе дроби на линейные множители, получим:

3. Неопределенность возникает не только при вычислении пределов от дробно-рациональных функций, но и от иррациональных выражений.

Пример 3.5. Вычислить предел функции

Решение. В этом случае числитель и знаменатель дроби домножаем на сопряженное выражение с целью получения разности квадратов:

Замечание. При наличии кубических корней у функции, стоящей под знаком предела, производят домножение на неполный квадрат суммы (разности) с целью применения формулы разности кубов.

4. При вычислении пределов от тригонометрических функций часто приходят к так называемому первому замечательному пределу:

. (3.5)