Некоторые приложения производной

Применение производной к исследованию функций с целью построения их графиков мы рассмотрели. К ее геометрическим приложениям также относятся:

– нахождение дифференциала длины дуги кривой;

– вычисление кривизны, радиуса и круга кривизны кривой в точке, эволюты и эвольвенты кривой;

– вычисление пределов различных функций;

– решение задач безусловной оптимизации;

– представление основных элементарных функций в виде многочленов.

1. Дифференциал длины дуги кривой вычисляется по формуле:

. (3.35)

Если функция задана параметрически , то

. (3.36)

Описание: Угол смежности 2. Пусть плоская кривая задана уравнением , причем функция дважды дифференцируема на некотором интервале . На этом интервале рассмотрим дугу кривой.

Углом смежности дуги кривой называется угол поворота касательной при переходе по кривой от точки к точке (рис. 29). Чем больше , тем больше изогнутость дуги. Средней кривизной Кср дуги называется отношение соответствующего угла смежности к длине дуги.

Кривизной линии в данной точке называется предел средней кривизны дуги при стремлении к нулю длины этой дуги (при стремлении точки к точке ). Чтобы вычислить кривизну в любой точке дуги, применяют формулу: . (3.37)

Величина R, обратная к кривизне линии в точке М, называется радиусом кривизны этой линии в данной точке: R=. (3.38)

Построим нормаль к кривой в данной точке и отложим отрезок длиной , тогда точка называется центром кривизны кривой в точке M. Круг с центром в точке радиуса – кругом кривизны. Совокупность всех центров кривизны данной линии образует эволюту. По отношению к эволюте данная кривая называется эвольвентой (или инвалютой).

3. Решение задач безусловной оптимизации – это отыскание наибольшего и наименьшего значений функции (глобальных экстремумов). Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда на основании теоремы 3.1 она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений. Эти значения принимаются функцией либо на концах отрезка, либо в некоторой внутренней точке отрезка, то есть . Если, – внутренняя точка отрезка, то она является точкой экстремума данной функции.

Получаем следующий алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на :

1) найти критические точки функции на интервале ;

2) вычислить значения функции в найденных критических точках;

3) вычислить значения функции на концах отрезка при и ;

4) среди всех вычисленных значений функции выбрать наибольшее и

наименьшее.

Если непрерывная функция на отрезке не имеет критических точек, то это означает, что на нём функция монотонно возрастает или убывает. Следовательно, наибольшее и наименьшее значения функция принимает на концах заданного отрезка.

Решение задач безусловной оптимизации широко применяется в математике, физике, химии, экономике и других науках. Например, при рассмотрении таких практических задач, как транспортная задача о перевозке груза с минимальными затратами; задача об организации производственного процесса с целью получения максимальной прибыли и другие задачи, связанные с поиском оптимального решения.

4. Широкое применение производная находит в механике, где первая производная пути по времени представляет собой – скорость, а вторая производная – ускорение движения материальной точки.

5. Рассмотрим способ раскрытия неопределённостей вида и , который основан на применении производных.

1). Теорема 3.14 (теорема Лопиталя). Пусть функции и непрерывны и дифференцируемы в окрестностях точки и обращаются в нуль в этой точке: . Пусть в окрестностях точки . Если существует предел = l, то = (3.39)

Данная теорема верна и в случае, когда функции и не определены при , но и . Достаточно положить и .

2). Теорема справедлива и в том случае, когда . Действительно, положив , и применяя теорему 3.5 о дифференцировании сложной функции, получим:

3). Если производные и удовлетворяют тем же условиям, что и функции и , теорему Лопиталя можно применить ещё раз:

и так далее.

Правило Лопиталя применяется также и для раскрытия неопределённостей вида , , , , , которые сводятся к двум предыдущим основным видам путём тождественных преобразований.

4). Пусть , при . Тогда очевидны следующие преобразования:

(или ).

5). Пусть , при . Тогда можно поступить так:

6). Пусть или и , или и , или и при . Для нахождения предела вида удобно сначала прологарифмировать выражение .

6. Формула Тейлора также основана на применении производных высших порядков. Пусть функция есть многочлен степени :

. (3.40)

Преобразуем этот многочлен также в многочлен степени по степеням разности , где – произвольное число, то есть представим в виде:

. (3.41)

Для нахождения коэффициентов , , продифференцируем раз равенство (3.41):

…………………………………………………………………….,

Подставляя в полученные равенства и равенство (3.41), имеем:

, то есть ,

……………………………………………………..,

, то есть .

Подставляя найденные значения в равенство (3.37), получим разложение многочлена й степени по степеням :

. (3.42) Уравнение (3.42) называется формулой Тейлора для многочлена степени .

Рассмотрим теперь произвольную функцию . Формула Тейлора позволяет, при определённых условиях, приближённо представить функцию в виде многочлена и дать оценку погрешности этого приближения.

Теорема 3.15. Если функция определена в некоторой окрестности точки и имеет в ней производные до го порядка включительно, то для любого из этой окрестности найдётся точка такая, что справедлива формула:

, (3.43) где 0<<1

Формула (3.43) называется формулой Тейлора для функции . Эту формулу можно записать в виде R, где

, (3.44) называется многочленомТейлора, а R, (3.45) – остаточный член формулыТейлора, записанным в форме Лагранжа. R есть погрешность приближённого равенства . Таким образом, формула Тейлора даёт возможность заменить функцию многочленом с соответствующей степенью точности, равной значению остаточного члена R.