Некоторые приложения производной
Применение производной к исследованию функций с целью построения их графиков мы рассмотрели. К ее геометрическим приложениям также относятся:
– нахождение дифференциала длины дуги кривой;
– вычисление кривизны, радиуса и круга кривизны кривой в точке, эволюты и эвольвенты кривой;
– вычисление пределов различных функций;
– решение задач безусловной оптимизации;
– представление основных элементарных функций в виде многочленов.
1. Дифференциал длины дуги кривой вычисляется по формуле:
. (3.35)
Если функция задана параметрически , то
. (3.36)
2. Пусть плоская кривая задана уравнением
, причем функция
дважды дифференцируема на некотором интервале
. На этом интервале
рассмотрим дугу
кривой.
Углом смежности дуги
кривой называется угол поворота касательной при переходе по кривой от точки
к точке
(рис. 29). Чем больше
, тем больше изогнутость дуги. Средней кривизной Кср дуги
называется отношение соответствующего угла смежности
к длине дуги.
Кривизной линии в данной точке
называется предел средней кривизны дуги
при стремлении к нулю длины этой дуги (при стремлении точки
к точке
). Чтобы вычислить кривизну в любой точке дуги, применяют формулу:
. (3.37)
Величина R, обратная к кривизне линии в точке М, называется радиусом кривизны этой линии в данной точке: R=. (3.38)
Построим нормаль к кривой в данной точке и отложим отрезок
длиной
, тогда точка
называется центром кривизны кривой в точке M. Круг с центром в точке
радиуса
– кругом кривизны. Совокупность всех центров кривизны данной линии образует эволюту. По отношению к эволюте данная кривая называется эвольвентой (или инвалютой).
3. Решение задач безусловной оптимизации – это отыскание наибольшего и наименьшего значений функции (глобальных экстремумов). Пусть функция непрерывна на отрезке
. Тогда на основании теоремы 3.1 она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений. Эти значения принимаются функцией либо на концах отрезка, либо в некоторой внутренней точке
отрезка, то есть
. Если,
– внутренняя точка отрезка, то она является точкой экстремума данной функции.
Получаем следующий алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на
:
1) найти критические точки функции на интервале ;
2) вычислить значения функции в найденных критических точках;
3) вычислить значения функции на концах отрезка при и
;
4) среди всех вычисленных значений функции выбрать наибольшее и
наименьшее.
Если непрерывная функция на отрезке
не имеет критических точек, то это означает, что на нём функция монотонно возрастает или убывает. Следовательно, наибольшее
и наименьшее
значения функция принимает на концах заданного отрезка.
Решение задач безусловной оптимизации широко применяется в математике, физике, химии, экономике и других науках. Например, при рассмотрении таких практических задач, как транспортная задача о перевозке груза с минимальными затратами; задача об организации производственного процесса с целью получения максимальной прибыли и другие задачи, связанные с поиском оптимального решения.
4. Широкое применение производная находит в механике, где первая производная пути по времени представляет собой – скорость, а вторая производная
– ускорение движения материальной точки.
5. Рассмотрим способ раскрытия неопределённостей вида и
, который основан на применении производных.
1). Теорема 3.14 (теорема Лопиталя). Пусть функции и непрерывны и дифференцируемы в окрестностях точки
и обращаются в нуль в этой точке:
. Пусть
в окрестностях точки . Если существует предел
= l, то
=
(3.39)
Данная теорема верна и в случае, когда функции и не определены при , но
и
. Достаточно положить
и
.
2). Теорема справедлива и в том случае, когда . Действительно, положив
, и применяя теорему 3.5 о дифференцировании сложной функции, получим:
.
3). Если производные и удовлетворяют тем же условиям, что и функции
и
, теорему Лопиталя можно применить ещё раз:
и так далее.
Правило Лопиталя применяется также и для раскрытия неопределённостей вида ,
,
,
,
, которые сводятся к двум предыдущим основным видам путём тождественных преобразований.
4). Пусть ,
при
. Тогда очевидны следующие преобразования:
(или
).
5). Пусть ,
при
. Тогда можно поступить так:
.
6). Пусть или и
, или
и
, или
и
при
. Для нахождения предела вида
удобно сначала прологарифмировать выражение
.
6. Формула Тейлора также основана на применении производных высших порядков. Пусть функция есть многочлен
степени
:
. (3.40)
Преобразуем этот многочлен также в многочлен степени по степеням разности
, где
– произвольное число, то есть представим
в виде:
. (3.41)
Для нахождения коэффициентов ,
,
продифференцируем
раз равенство (3.41):
,
,
…………………………………………………………………….,
.
Подставляя в полученные равенства и равенство (3.41), имеем:
, то есть
,
, то есть
,
, то есть
,
, то есть
,
……………………………………………………..,
, то есть
.
Подставляя найденные значения в равенство (3.37), получим разложение многочлена
й степени
по степеням
:
. (3.42) Уравнение (3.42) называется формулой Тейлора для многочлена
степени
.
Рассмотрим теперь произвольную функцию . Формула Тейлора позволяет, при определённых условиях, приближённо представить функцию
в виде многочлена и дать оценку погрешности этого приближения.
Теорема 3.15. Если функция определена в некоторой окрестности точки
и имеет в ней производные до
го порядка включительно, то для любого
из этой окрестности найдётся точка
такая, что справедлива формула:
, (3.43) где
0<
<1
Формула (3.43) называется формулой Тейлора для функции . Эту формулу можно записать в виде
R
, где
, (3.44) называется многочленомТейлора, а R
, (3.45) – остаточный член формулыТейлора, записанным в форме Лагранжа. R
есть погрешность приближённого равенства
. Таким образом, формула Тейлора даёт возможность заменить функцию
многочленом
с соответствующей степенью точности, равной значению остаточного члена R
.
При получаем частный случай формулы Тейлора – формулу Маклорена:
, (3.46) где
. При
формула Тейлора (3.43) имеет вид
или
(3.47)
и называется формулой Лагранжа конечных приращений.
Рассмотренная ранее формула для приближённых вычислений является частным случаем более точной формулы
.
Приведем разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций: , (3.48)
, (3.49)
, (3.50)
, (3.51)
. (3.52)
Пример 3.16. Найти число е с точностью до 0,001.
Решение. Используем формулу Маклорена для функции . Для этого в равенстве (3.50) положим
:
.
Для нахождения е с точностью 0,001 определим из условия, что остаточный член
меньше 0,001. Так как
, то
. Поэтому при
имеем:
.
Итак, получаем приближенное равенство:
,
т. е.
Вопросы для самопроверки.
1. Как вычислить дифференциал длины дуги кривой?
2. Как найти кривизну, радиус и круг кривизны плоской кривой в точке?
3. Как применить теорему Лопиталя для вычисления пределов функций?
4. Какие задачи являются задачами безусловной оптимизации?
5. В каких случаях применяются формулы Тейлора и Маклорена?
6. Как представляются основные элементарные функции в виде многочленов с помощью формулы Маклорена?