Интегрирование некоторых тригонометрических выражений
1. Если под интегралом содержатся произведения тригонометрических функций, то применяется одна из следующих формул:
(4.31)
(4.32)
(4.33)
Проинтегрируем данные равенства, получим:
2. Пусть заданный интеграл рационально зависит от тригонометрических функций 
и 
, то есть имеет вид 
. Если при этом известные нам тригонометрические формулы не применимы, то целесообразна так называемая универсальная тригонометрическая подстановка:
;
.
После данной замены интеграл принимает вид:
. (4.34)
3. Пусть заданы интегралы вида 
.
а). Если показатель степени n – четное число, то есть n=2к, R
Z, к≥2, тогда для подынтегральной функции применяют формулы понижения степени:
; 
(4.35)
б). Если показатель степени n – нечетное число, то есть n=2к+1, RZ, R≥2, тогда от n-ой степени отделяют один множитель и вносят его под знак дифференциала. Функцию, попавшую под знак дифференциала, обозначают новой переменной и всю подынтегральную функцию сводят к ней.
(4.36)
4. Для интегралов типа 
рассмотрим четыре случая.
а). При n = m
, (4.37)
далее если m – число четное, то понижают степень; если m – число нечетное, тогда снова осуществляют внесение множителя под знак дифференциала.
б). При n ≠ m, где m, n – четные числа, понижают степень каждого множителя.
в). При n ≠ m, где m, n – нечетные числа, рационально от меньшей степени отделить один множитель и внести его под знак дифференциала.
г). При n ≠ m, где одно из чисел четное, другое – нечетное, от нечетной степени отделяют один множитель и поступают аналогично случаю 3б).
5. Интегралы вида 
берутся с помощью замены:
, (4.38)
после чего интегрируют полученную рациональную дробь.
Вопросы для самопроверки.
1. С помощью каких формул интегрируются произведения тригонометрических функций?
2. В каких случаях целесообразно применение универсальной тригонометрической подстановки?
3. Как берутся интегралы типа ?
4. Какие случаи различаются при интегрировании интегралов типа в зависимости от показателей степени m и n?
5. Как берутся интегралы вида ?