Лабораторные

Лабораторна робота. Обчислення статистичних характеристик малої вибірки за кількісної мінливості.

Для малих вибірок обчислюють такі статистичні характеристики: середні арифметичні, дисперсії, стандартні відхилення, коефіцієнти варіювання, похибки вибіркових середніх, граничні оцінки середньої арифметичної, відносні помилки вибіркової середньої, точність досліду.

Приклад: Обчислити статистичні характеристики малих вибірок за вихідними даними, наведеними в таблиці 1.

Таблиця 1 Урожайність соняшнику залежно від рівномірності внесення добрив, ц/га

Внесення добрив

Повторність

І

ІІ

ІІІ

ІV

Рівномірне. Вибірка 1.

15

18

15

15

Нерівномірне. Вибірка 2.

18

7

22

17

Розрахунки статистичних характеристик

1. Середня арифметична ().Середня арифметична є основною статистичною характеристикою кожного варіаційного ряду, а всі інші характеристики лише пояснюють основну.

Для обчислення цієї характеристики варіюючі ознаки (результати спостережень) позначають знаком Х, а кількість повторностей - знаком n.

Середню арифметичну позначають знаком (тобто икс кругле з рискою над ним) і розраховують за формулою:

де ∑X – сума повторностей.

 

 

Для варіанту з рівномірним внесенням добрив середня арифметична проста

ц/га.

Для варіанта з нерівномірним внесенням добрив середня арифметична проста

ц/га.

Отже, середні арифметичні однакові, але розмах варіювання (R) в них різний. За рівномірного внесення добрив R1=Xmax1 – Xmin1=18–15=3, а за нерівномірного R2=Xmax2 – Xmin2=22 – 7=15, тобто урожайність соняшнику сильніше варіює за нерівномірного внесення добрив, коли створюється строкатість родючості грунту.

2. Дисперсія (S2) - це середній квадрат відхилень кожного члена варіаційного ряду (Х1, Х2, …Хn) від середньої арифметичної. Цей показник повніше за розмах варіювання характеризує варіаційні ряди. Дисперсія обчислюється за формулою

Для її розрахунків складається допоміжна таблиця 2, в яку вносять результати спостережень урожаїв з таблиці 1 та середні урожаї.

Таблиця 2 Обчислення квадратів відхилень від середньої арифметичної

Внесення добрив

Рівномірне

Нерівномірне

Повторн.

Х1

   

Повторн.

Х2

   

І

16

0

0

І

18

2

4

ІІ

18

2

4

ІІ

7

-9

81

ІІІ

15

-1

1

ІІІ

22

6

36

IV

15

-1

1

IV

17

1

1

 

∑X=64

=16

=0

=6

 

∑X2=64

=16

=0

=122

В таблиці 2 розраховуються відхилення кожного спостереження (урожаю) від його середнього арифметичного значення (Х - ) та визначають квадрати цих відхилень

(Х - )2. Складається сума відхилень ∑(Х - ) та сума квадратів відхилень ∑(Х - )2, при цьому сума відхилень повинна дорівнювати нулю. n-1 – являє собою число вимірів без одиниці і називається ступенем свободи або ступенем вільності.

Підставивши одержані суми квадратів відхилень у наведену формулу дисперсії отримаємо для першої вибірки:

;

для другої вибірки:

Порівняння дисперсій і свідчить, що у другій вибірці, де добрива вносились нерівномірно, дисперсія, тобто середній квадрат відхилень від середнього арифметичного, в двадцять разів більша, ніж за рівномірного внесення добрив.

Дисперсія використовується не лише для характеристики варіювання досліджуваних показників, а й для обчислення стандартного відхилення (S).

3. Стандартне або середнє квадратичне відхилення (S) служить основною мірою варіації, розсіювання ознаки, що вивчається і обчислюється як корінь квадратний із дисперсії:

Для першої вибірки ц/га, а для другої ц/га.

Стандартне відхилення виражається у тих же одиницях, що і середня арифметична.

Якщо у дослідженнях порівнюють мінливість ознак, що мають різні одиниці виміру (центнери, штуки, сантиметри тощо), то дисперсія та стандартне відхилення для таких порівнянь непридатні. У таких випадках доцільно користуватися коефіцієнтом варіювання.

4. Коефіцієнт варіювання (V) – це відношення стандартного відхилення до середньої арифметичної. Виражається він у відсотках і обчислюється за формулою

V%=

Коефіцієнт варіації є відносним показником мінливості.

Для першої вибірки , для другої .

Отже, варіювання врожаю значно більше за нерівномірного внесення добрив.

Варіювання умовно вважають незначним, якщо коефіцієнт його не перевищує 10%; середнім, коли коефіцієнт варіювання перебуває в межах 10-20% і значним, коли він перевищує 20%.

Варіювання врожаю більшості польових культур становить 8-12%. Менше варіювання врожаю у культур звичайного рядкового способу сівби і більше – у просапних.

5. Похибка вибіркової середньої ()

Є мірою відхилення вибіркової середньої від середньої всієї (генеральної )сукупності. Похибки середньої арифметичної спричиняються внаслідок неповного представництва вибіркової сукупності. Ці похибки властиві лише вибірковому методу досліджень, а їх чисельне значення залежить від ступеня мінливості досліджуваних ознак і обсягів вибірки.

Похибку вибіркової середньої () обчислюють за формулою

У наведеному прикладі для першої вибірки:

,

а для другої .

6. Гранична оцінка середньої арифметичної

Значення похибок використовують для граничної оцінки середніх арифметичних за формулою

де t – значення критерію Стьюдента, приймається за додатком 1, в залежності від рівня надійної імовірності.

За оцінки на рівні імовірності Р0,95 значення t дорівнює 3,18 , а на рівні імовірності Р0,99 – 5,84.

З урахуванням цих показників межові значення середньої арифметичної для першої вибірки становлять:

16±3,18·0,71, та 16±5,84·0,71.

Це означає, що на рівні імовірності Р0,95 межові величини середньої арифметичної будуть 13,74÷18,26, а на рівні Р0,99 – 11,85÷20,15.

Для другої вибірки: 16±3,18·3,19 і 16±5,84·3,19; або 5,86÷26,14 і до 34,6.

7. Відносна похибка вибіркової середньої ( ).

Відносною похибкою вибіркової середньої називають відношення похибки вибіркової середньої до середньої арифметичної, виражають у відсотках, і визначають за формулою

Для вибірки з рівномірним внесенням добрив відносна похибка вибіркової середньої , а для вибірки з нерівномірним внесенням добрив .

8. Точність досліду (Т)

Залежно від значення відносної похибки роблять висновки про точність досліду. Точність досліду це різниця між 100 % і відносною похибкою (Т=100% - %). Умовно точність досліду вважають високою, якщо її значення не перевищує 3 %, середньою – коли вона становить 3-6 % і низькою коли 7 % і більше.

Для збільшення точності досліду слід дбати про те, щоб досліди проводилися на вирівняних за родючістю площах.

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить