8. Распределение норм надежности по устройствам вычислительной системы
8.1. Цель работы - освоение методики расчета оптимальных значений надежности устройств ВС, минимизирующих стоимость системы при заданной надежности ВС в целом.
8.2. Порядок выполнения работы
8.2.1. Изучить раздел 8.3 указаний и рекомендованную литературу [7,8] по теме работы.
8.2.2. По заданному варианту стоимостных и надежностных параметров устройств вычислительных систем (ВС) определить оптимальные нормы надежности этих устройств, минимизирующие общую стоимость ВС и обеспечивающие общую надежность ВС не ниже заданной. Вычислить эту стоимость и соответствующие стоимости устройств. Сравнить характеристики оптимальной ВС с характеристиками ВС - прототипа.
8.2.3. Оформить отчет по работе.
8.3. Элементы теории и методические указания
Вычислительная система состоит из n устройств (процессоров, модулей ОЗУ, каналов ввода-вывода и т. д.). Общая стоимость С ВС как функция ненадежностей (вероятностей отказа) qi ее устройств выражается в виде
(8.1)
где
(8.2)
Bi - средние потери от одного отказа i-го устройства; 
- надежностные затраты на i-е устройство-прототип; 
- его ненадежность; αi(αi> 0) - некоторая постоянная, характерная для i-го устройства; 
- постоянные затраты, не зависящие от надежности; 
- эксплуатационные затраты (пропорциональны длительности эксплуатации).
Если проектируется высоконадежная ВС, то сумма q1 + ... + qn меньше 1, и эта сумма может служить оценкой общей ненадежности Q ВС: Q = q1 + ... + qn.
Задача оптимального распределения норм надежности по устройствам ВС формулируется следующим образом: найти вектор q* = (q*1,...,q*n), минимизирующий стоимость (8.1) ВС и обеспечивающий требуемую надежность P0, т. е. удовлетворяющий условию:
(8.3)
Естественно, при этом должны выполняться неравенства
qi ³ 0, i = 1, ...n. (8.4)
Задача (8.1) - (8.4) решается методами выпуклого программирования [8]. Ее решение состоит в следующем.
Оптимальные ненадежности q*i устройств ВС рассчитываются по формулам
, i = 1,...,n, (8.5)
где u - параметр, определяемый как корень уравнения
(8.6)
на полуинтервале
u £ (Bs - asAs)/P0. (8.7)
Здесь s - индекс, соответствующий равенству
Bs - asAs = min {Bi - aiAi}. (8.8)
1£i£n
Стоимости Ci подсчитываются по формулам
Ci = Ai(q*i) -αi + Biq*i + (C0i + CЭi), i = 1,...,n, (8.9)
а общая минимальная стоимость ВС –
Cmin = C1 + C2 + ... + Cn. (8.10)
Отметим, что уравнение (8.6) всегда имеет единственный корень. Поэтому при его решении удобно пользоваться графическим методом или любой подпрограммой, реализующей соответствующий численный метод Ньютона. В качестве начальной точки рекомендуется граничная точка полуинтервала (8.7).
4. Пример расчета
ВС состоит из четырех устройств: 1 - процессор, 2- -ОЗУ, 3 - НМД, 4 - канал ввода-вывода. Параметры устройств приведены в табл.8.1 (стоимости указаны в некоторых условных единицах). Требуемая надежность (вероятность безотказной работы за заданное время) P0 = 0,99. Требуется определить оптимальные нормы ненадежности q*i, i = 1, ..., 4, и вычислить соответствующую им минимальную стоимость C(q*1,...,q*4), а также стоимость Ci(q*i) устройств.
1) Подсчитаем сначала константы по формулам (8.2), используя данные из табл.8.1:
;
;
;
;
Таблица 8.1
|
i |
|
|
C0ni |
C0i |
C Эi |
Bi |
|
1 |
1 |
5 |
10 |
20 |
1 |
5 |
|
2 |
1 |
5 |
7 |
15 |
2 |
5 |
|
3 |
2 |
7 |
5 |
10 |
3 |
2 |
|
4 |
3 |
10 |
2 |
10 |
2 |
3 |
2) Определим индекс s по формуле (8.8):
min {Bi - aiAi} = min{5-0,5·1; 5-0,5·0,7; 2-0,7·0,31; 3-1·0,06}= min {4,5; 4,65; 1,78; 2,94}. Следовательно, s=3.
3) Вычисляя выражение в соотношениях (8.6) и (8.7), приходим к следующей задаче: найти u, удовлетворяющее уравнению
при u £ 1,8.
4) Решая это уравнение итерационным методом Ньютона, получаем
u = - 4750. Тогда оптимальные нормы ненадежности устройства, вычисленные по (8.5), составят:
для процессора - q*1 = 218·10-5;
для ОЗУ - q*2 = 171·10-5;
для НМД - q*3 = 255·10-5;
для КВВ - q*4 = 356·10-5.
5) Минимальные стоимости устройств, определяемые по формулам (9), равны
C1 = 42,43 (для процессора-прототипа: 31,05);
C2 = 41,18 (для ОЗУ-прототипа: 24,05);
C3 = 78,4 (для НМД - прототипа: 18,04);
C4 = 29,0 (для КВВ - прототипа: 14,09).
Стоимость ВС в целом Cmin = 191. Стоимость ВС - прототипа - 87,14. Отметим, что надежность системы-прототипа, вычисленная по данным табл.8.1, равна 1-7·10-2 = 0,93. Увеличение надежности до 0,99 получено, таким образом, за счет дополнительных затрат 191-87,14»105 условных единиц стоимости.
8.5. Варианты заданий
Во всех вариантах число устройств ВС равно 4, а надежность P0 - 0,99. По номеру N варианта определяются номер К набора данных из табл. 8.2 и номер М набора из табл.8.3, по формулам
K = N mod 5, M = ] N/5[,
где]x[ - ближайшее к х сверху целое число.
Таблица 8.2
|
K |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
||||||||||
|
i |
102 |
10 αi |
C0пi |
102 |
10αi |
C0пi |
102 |
10αi |
C0 пi |
102 |
10αi |
C0 пi |
102 |
10αi |
C0 пi |
|
1 |
1 |
6 |
12 |
3 |
5 |
11 |
2 |
5 |
14 |
1 |
5 |
10 |
1 |
6 |
10 |
|
2 |
2 |
5 |
8 |
1 |
6 |
7 |
1 |
5 |
6 |
3 |
5 |
6 |
2 |
5 |
7 |
|
3 |
3 |
8 |
6 |
1 |
5 |
5 |
1 |
6 |
4 |
2 |
7 |
4 |
1 |
9 |
3 |
|
4 |
1 |
9 |
3 |
2 |
8 |
2 |
3 |
9 |
2 |
1 |
8 |
3 |
2 |
10 |
2 |
Таблица 8.3
|
K |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
||||||||||
|
i |
C0i |
CЭi |
Bi |
C0i |
CЭi |
Bi |
C0i |
CЭi |
Bi |
C0i |
CЭi |
Bi |
C0i |
CЭi |
Bi |
|
1 |
24 |
1 |
6 |
22 |
2 |
8 |
28 |
2 |
7 |
20 |
1 |
9 |
20 |
1 |
9 |
|
2 |
16 |
2 |
7 |
14 |
1 |
8 |
12 |
1 |
7 |
12 |
3 |
8 |
14 |
3 |
10 |
|
3 |
12 |
3 |
2 |
10 |
3 |
3 |
8 |
2 |
2 |
8 |
2 |
2 |
6 |
2 |
2 |
|
4 |
6 |
2 |
2 |
4 |
2 |
2 |
4 |
3 |
3 |
6 |
2 |
2 |
4 |
3 |
2 |
8.6. Содержание отчета
Постановка задачи, протокол реализации алгоритма по типу раздела 8.4, результаты с комментариями и выводами.