Статьи по экономическим темам

Моделювання планування випуску продукції підприємства з урахуванням ринкового попиту

к. е.н. Лепа М. М. Солодов О. А.

Ринкові умови господарювання висувають на перший план задачі узгодження номенклатури та обсягів продукції, що випускається, з вимогами і попитом її на ринку.

Зростання виробництва продукції підприємства без урахування ринкового попиту не є показником його успішної роботи. У зв'язку з випадковістю попиту на що випускається продукцію можливо як її надвиробництво, так і недовироблення. У випадку випуску обсягу продукції перевищуючий попит на її, підприємство зазнає втрат, пов'язаних зі збереженням не реалізованої продукції. А при випуску обсягу продукції меншого, чим є попит на неї, підприємство несе потенційні втрати через то, що не скористалося сформованою на ринку ситуацією для одержання додаткових прибутків.

Задача оптимального управління виробництвом, що враховує ймовірний характер вихідної інформації про попит, описуються стохастичними моделями [1], що діляться на два класи:

* моделі в умовах ризику, якщо управлінське рішення приймається при відомих законах розподілу вхідних у них випадкових величин або коли є достатні результати спостережень реалізації цих величин;

* моделі в умовах невизначеності, якщо управлінське рішення приймається при невідомих законах розподілу вхідних у них випадкових величин або недостатніх спостережень їхньої реалізації. Наприклад, непередбачуваність виникає, коли збільшується частка нових товарів, попит на які не вивчений.

Стохастичні моделі управління виробництвом значно складніше детермінованих. Лише в окремих випадках рішення стохастичних моделей зводиться до класичних методів математичного програмування. Частіше усього для їхньому рішенні використовуються стохастичні квазіградієнтні методи [1-3].

Розглянемо підприємство, що випускає n видів продукції. Попит на i-тий вид продукції позначимо перемінною , яка є випадковою величиною. При попиті потрібно визначити такий обсяг продукції , при якому прибуток підприємства буде найбільшим. Для цього необхідно знайти максимальне значення такої цільової функції:

, (1)

при , (2)

- де X - множина допустимих рішень;

- - ціна одиниці i-того виду продукції, що виражається в грошових одиницях;

- - функція загальних витрат, пов'язана з обсягом виробництва , попитом , яка є випадковою величиною і виражається в грошових одиницях;

- - математичне чекання функції загальних витрат;

- - спільна функція розподілу вектора .

Нехай на підприємстві є k видів ресурсів. Кількість кожного s-того виду ресурсу визначимо (s=1, 2, ... , k). У зв'язку з обмеженістю ресурсів замість узагальнених обмежень (2) варто враховувати такі обмеження:

, (s=1, 2, ... , k), (3)

- де - норма використання s-того виду ресурсу для виготовлення одиниці i-того виду продукції.

Випуск продукції не може бути негативною величиною, тому до умов (3) необхідно додати обмеження:

, (i=1, 2, ... , n). (4)

При наявності обов'язкової програми по випуску виробів замість обмежень (4) має сенс використовувати такі нерівності:

, (i=1, 2, ... , n), (5)

- де - кількість виробів i-того виду обов'язкової програми.

Випуск кожного i-т виду продукції не може перевищувати максимально можливого обсягу , пов'язаного з потужністю підприємства. Ця умова накладає такі додаткові обмеження на область допустимих вирішень:

. (6)

Таким чином, завдання полягає в знаходженні такого вектора , при якому досягається максимум цільової функції (1) при обмеженнях (3), (5), (6). Вибір методу вирішення цієї задачі залежить від виду функції загальних витрат , що входить у цільову функцію (1).

Задача (1) при обмеженнях (3),(5),(6) є стохастичною. Для вирішення стохастичних задач застосовні прямі і непрямі методи рішення.

Прямі методи рішення використовуються в тому випадку, якщо функція розподілу випадкового вектора попиту невідома, але існує спосіб обчислення випадкової функції на основі наявної інформації щодо цього випадкового вектора. Ці ж методи застосовні і тоді, коли ймовірні властивості задані, але обчислення математичного чекання функції або неможливі, або занадто складні. Це буває обумовлено складністю залежності функції від її параметрів і , або коли ця функція задається як алгоритм - за допомогою імітаційної моделі. Найбільш поширеними прямими методами є методи стохастичних квазіградієнтів із проектуванням і стохастичної лінеаризації, алгоритми яких наведені в роботі [1].

Непрямі методи грунтуються на зведенні задачі (1), (3), (5), (6), до задачі, яку можна вирішити відомими методами класичного аналізу [4], а також методами нелінійного програмування [5]. Це можливо в тому випадку, якщо цільова функція може бути обчислена.

Розглянемо ситуацію, коли попит споживачів на i-тий вид продукції задовольняється підприємством тільки цим видом продукції (тобто коли не можна задовольнити попит на цей вид продукції іншими видами продукції цього ж підприємства). У цьому випадку - попит на i-тий вид продукції є незалежною випадковою величиною, а функція витрат, пов'язана з обсягом виробництва i-того виду продукції, буде залежати тільки від величин та . Її аналітичний вид може бути поданий наступною функцією:

(7)

- де - собівартість випуску одиниці i-того виду продукції;

- , - витрати, пов'язані з надвиробництвом і недовиробленням одиниці i-того виду продукції відповідно. У (7) вираження , означають обсяги надвиробництва і недовироблення i-того виду продукції відповідно.

Функція загальних витрат у цьому випадку рекомендується у виді суми функцій виду (7):

. (8)

Цільова функція з урахуванням виражень (7) і (8) прикмет вид:

, (9)

- де - функція розподілу випадкової величини .

Далі будемо розглядати задачу (9) при обмеженнях (3), (5), (6).

Цільова функція містить у собі 2n інтегралів. Зокрема, коли має безупинні приватні похідні, її мінімізацію робимо класичними методами по наступній схемі:

1) - знаходимо часткові похідні , і дорівнюємо їх до нуля

Вирішуючи рівняння

, (10)

знаходимо рішення , що задовольняють нерівностям

, (s=1, 2, ... , k) (11)

і обмеженням (5) і (6).

2) - складаємо функцію Лагранжа

,

- де - множники функції Лагранжа.

Знаходимо часткові похідні функції Лагранжа (i=1, 2, ... , n), (s=1, 2, ... , k) і дорівнюємо їх до нуля.

Вирішуючи отриману систему з (n+k) рівнянь із (n+k) невідомими

, (12)

знаходимо рішення , що задовольняють обмеженням (5) і (6).

3) - знаходимо рішення на гранях опуклого n - мірного багатогранника утвореного обмеженнями (5) і (6). У цьому випадку для кожної грані необхідно повторювати етапи 1) і 2).

З знайдених рішень , , вибирається те, при якому приймає максимальне значення.

Розглянемо два окремі випадки.

Випадок 1. Припустимо що - випадкові незалежні величини, рівномірно розподілені на відрізках , із функціями розподілу (i=1,2,...n):

. (13)

Цільова функція F(x) у цьому випадку прийме вид:

. (14)

Підставивши (13) у (10) одержимо рішення :

, (i=1,2,...n). (15)

Для находження підставимо (13) у (12) у результаті одержимо таку систему рівнянь:

(16)

Рішення системи (16) не викликає труда тому що це лінійна система (n+k) рівнянь із (n+k) невідомими.

Випадок 2. Припустимо що - випадкові незалежні величини, експоненціально розподілені, із функціями розподілу :

. (17)

Цільова функція F(x) у цьому випадку прийме вид:

. (18)

Підставивши (17) у (10) одержуємо вирішення :

, (i=1,2,...n) . (19)

Для знаходження підставимо (17) у (12) у результаті одержимо нелінійну систему з (n+k) рівнянь із (n+k) невідомими:

(20)

Рішення системи рівнянь (20) може бути отримане в результаті застосування наближених методів обчислень.

Легко помітити, що в двох розглянутих випадках цільові функції (14) і (18) є строго увігнутими функціями. Ліві частини нерівностей (3) являють собою опуклі функції. Обмеження (5) і (6) являють собою опуклий багатогранник у n - мірному просторі.

З встановлених фактів випливає, що якщо область рішень системи обмежень (3), (5) і (6) не порожня, то цільові функції (14) і (18) мають єдине рішення тобто єдину точку максимуму функції .

Це у свою чергу означає, що якщо на етапі 1) знайдене рішення , то воно і буде рішенням вихідної задачі. Якщо рішення не знайдене, те переходимо до етапу 2). Якщо на етапі 2) знайдене рішення , то воно і буде рішенням вихідної задачі. Якщо рішення не знайдене, то переходимо до етапу 3). Рішення етапу 3) буде рішенням вихідної задачі.

У цілому методи класичного аналізу, як правило, ефективні при рішенні задачі малої розмірності й особливо в тих випадках, коли необхідно шукати безумовний максимум або мінімум цільової функції F(x). Їхнє застосування для рішення поставленої задачі (1), (3), (5) і (6) наштовхується на принципові труднощі в ситуаціях коли:

1 - точна побудова функції не завжди можлива;

2 - коли являє собою функцію первинно випадкових параметрів, що спостерігаються;

3 - цільова функція F(x), що не диференцується;

4 - для одержання аналітичного вигляду цільової функції F(x) потрібні значні зусилля при обчисленні багатократних інтегралів.

Зазначені труднощі (1-4) звужують область застосування непрямих методів рішення. У цих випадках застосовують прямі методи рішення стохастичних задач. Прямі методи оперують тільки значеннями , їхні принципові алгоритми не змінюються зі змінами закону розподілу попиту , не потрібно знання цих законів у явному виді, а значить вони застосовні і до рішення складних задач, у яких випадковість задається тільки імітаційною моделлю. Широкий клас прямих методів стохастичного програмування побудований на основі ітеративних методів негладкої оптимізації, що використовують замість неіснуючого градієнту цільової функції його узагальнення - квазіградієнт (субградієнт, узагальнений градієнт).

ЛІТЕРАТУРА

1. Мирзоахмедов Ф. Математические модели и методы управления производством с учётом случайных факторов./ Отв. ред. Ермольев Ю. М.; АН Украины. Ин-т кибернетики им. В. М. Глушкова.-Киев:Наук. думка,1991.-224 с.

2. Ястремский А. И. Стохастические модели математической экономики. - Киев: Вища школа. Головное изд-во, 1983. - 127 с.

3. Ермольев Ю. М. Методы стохастического программирования. М., Главная редакция физико-математической литературы изд-ва "Наука", 1976. - 240 с.

4. Смирнов В. И. Курс высшей математики, том первый. М., "Наука" 1967. - 480 с.

5. Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Тришин ИМ., Фридман М. Н. Исследование операций в экономике. Под ред. проф. Кремера Н. Ш. - М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997. - 407 с.

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить