Статьи по экономическим темам

Олейко В. М., старший викладач, Тернопільська академія народного господарства

Розглянемо випадок, коли підприємство (фірма) виробляє один продукт, попит на який є випадковою величиною. Позначимо інтелектуальний капітал, який потрібно вкласти для виготовлення деякого продукту через k. Витрати, пов'язані з підготовкою до виробництва, виражаються деякою функцією a(k), а витрати на виготовлення одиниці продукції через b(k) (в грошових одиницях). При цьому витрати a(k) монотонно зростають разом зі збільшенням k, а витрати b(k) монотонно спадають при зростанні k [1].

Ціну реалізації одиниці продукції позначимо через d/ очевидно, що необхідною умовою отримання прибутку від виробництва даного продукту є використання нерівності

(1)

виробництво х одиниць продукції вимагатиме затрат у розмірі

(2)

якщо при цьому попит становитиме теж х одиниць, то прибуток Р виражатиметься величиною

(3)

У випадку, коли попит w на продукцію не детермінований, а випадковий, то витрати можуть збільшитися на величину a(x-w), якщо w-x, тобто на збитки пов'язані з можливим надвиробництвом, або на величину b(w-c), якщо x<w, тобто на витрати незадоволеного попиту. Отже, в загальному випадку прибутки виражатимуться такою формулою

(4)

Втрати віднедовиробництва одиниці продукції a вважатимемо додатньою величиною: a>0, тобто справді втратами, хоча в окремих випадках недовиробництво може мати і позитивний економічний ефект в сенсі збереження енергетичних ресурсів, чи трудових, екологічних, тощо.

Також, вважатимемо додатньою величиною і витрати b від надвиробництва одиниці продукції b>0, хоч і їх можна інколи перетворити у прибутки, нехай і не такі, як передбачалося, наприклад стимулювавши додатковий попит шляхом зниження ціни реалізації продукту. Результуюча функція Pr(x, w,k) може приймати як додатні значення при спрятливих для виробника показниках попиту і виробництва, так і від'ємні, тобто перетворитися з прибутків у збитки.

Розглянемо детальніше залежність прибутку Pr від своїх аргументів x, w, та k. Якщо вважати попит w та інтелектуальний капітал k фіксованими, то прибуток P як функцію від x можна зобразити графічно у вигляді ламаної, яка спочатку зростає при збільшенні x до величини w, а потім спадає при подальшому зростанні обсягів виробництва x. (Рис.1а).

Графік залежності прибутку Pr від Виробництва xГрафік залежності прибутку Pr від попиту на продукцію w.

Рис 1а. Графік залежності прибутку Pr від Виробництва x.  Рис 1б. Графік залежності прибутку Pr від попиту на продукцію w.

Аналогічно виглядає і графік залежності прибутку P від попиту w при фіксованих обсягах виробництва x і інтелектуального капіталу k.(Рис.1б).

Дещо складнішою виявляється залежність прибутку від інтелектуального капіталу k. Однак схематично його можна зобразити у вигляді вгнутої кривої, яка спочатку зростає до певного оптимального значення Копт., а відтак спадає (Рис.3).

Схематичний графік залежності прибутку від інтелектуального капіталу К при фіксованому обсязі виробництва x та попиту.

Рис 3. Схематичний графік залежності прибутку від інтелектуального капіталу К при фіксованому обсязі виробництва та попиту.

Очевидно, що оптимальні розміри виробництва та інтелектуального капіталу залежить від функції розподілу випадкової величини попиту w. Отже, потрібно дослідити основні сімейства функцій розподілу.

Розглянемо випадок рівномірно розподіленого попиту. Нехай попит w рівномірно розподілений в деяких межах від w1 до w2 з постійною функцією щільності розподілу.

(5)

Функція розподілу попиту запишеться аналітично так

(6)

Поюудуємо функцію розподілу випадкової величини прибутку. Для цього логічно припустити, що обсяг виробництва х знаходиться в межах від найменшого до найбільшого можливого попиту.

(7)

З урахуванням умови (7) на основі формули (4) визначимо прибуток при попиті

(8)

(9)

Якщо попит визначається своєю верхньою межею

(10)

то прибуток згідно формули (4) дорівнює

(11)

Введемо позначення

(12)

Згідно формул (9) та (11) вираз (12) можна записати у вигляді

(13)

Отже, ймовірність отримати прибуток меньший, ніж Pr(x, k) дорівнює нулеві.

P(Pr<Pr1(x, k))=0, (14)

тобто F(Pr)=0, якщо pr<Pr1(x, k). (15)

Розглянемо спочатку випадок, коли мінімальний прибуток Pr1(x, k)) досягається при мінімальному рівні попиту y=w1:

Pr1(x, k))=(d-b(k)))w1-a(k)-a(x-w1 <(d-b(k))x-a(k)-b(w2-x) (16)

Розв'яжемо нерівність (16) відносно обсягу виробництва х:

(d-b(k)))w1+aw1+bw2 < (d-b(k)+a+b)x;

(17)

Тепер за умови (17) побудуємо функцію розподілу прибутку F(Pr) на проміжку

Pr1(x, k))[pr<Pr2(x, k))=(d+b(k))x-a(k)-b(w2-x) (18)

Згідно означення функція розподілу

F(pr)=P(Pr<pr), (19)

Тобто дорівнює ймовірності отримати прибуток меньший, ніж pr, що відповідає ймовірності попиту меншого, ніж того, що забезпечує прибуток pr.

Отже, потрібно знайти спочатку попит y, що дає прибуток pr. Згідно формули (4) отримаємо

pr=(d-b(k))y-a(k)-a(x-y);

(d-b(k)+a)y=pr+a(k)+ax;  (20)

Отже, згідно формули (6) знаходимо

(21)

якщо Pr1(x, k)<pr< Pr2(x, k).

Щоб побудувати функцію розподілу випадкового прибутку на проміжку від Pr2(x, k) до Prmax=Pr(x, k))=(d-b(k))x1-a(k), потрібно врахувати той факт, що такий прибуток можна отримати як при недостатньому попиті, так і при надлишковому. Отже, при надлишковому попиті y>x на основі формули (4) отримаємо

Pr=(d-b(k))x-a(k)-b(y-x);

(22)

Отже, на основі теореми додавання ймовірностей та формул (21) і (22) отримаємо:

(23)

якщо Pr2(x, k)<pr[(d-b(k))x-a(k).

І, нарешті, при pr>(d-b(k))x-a(k) функція розподілу стає рівною одиниці:

F(pr)=1, якщо pr>(d-b(k))x-a(k). (24)

Якщо ж pr[Pr1(x, k),то

F(pr)=0.

Об'єднавши формули (15), (21), (23), (24) отримаємо функцію розподілу випадкового прибутку за умови (17).

Аналогічно побудуємо функцію розподілу для випадку, коли обсяг виробництва x не задовільняє умову (17), а виконується протилежна нерівність:

x<w1 +b(w2-w1)/(d-b(k)+a+b) (26)

За умови (26) функція розподілу випадкового прибутку виражається аналітично таким набором формул

(27)

Лише у випадку, коли обсяг виробництва х задовільняє рівність

х=w1 +b(w2-w1)/(d-b(k))+a+b), (28)

розподіл прибутку виражається рівномірним законом

(29)

Маючи функцію розподілу прибутку, можна знайти таку важливу її характеристику положення, як медіану.

Для обчислення математичного сподівання прибутку, знайдемо спочатку функцію щільності розподілу прибутку, продиференціювавши для цього функцію (25) за змінною pr. Математичне сподівання прибутку обчислюється у вигляді інтеграла

(30)

Підставивши в інтеграл (30) функцію щільності розподілу прибутку, проінтегрувавши та врахувавши формули (16), (18) отримаємо формулу математичного сподівання прибутку.

(31)

Як видно з формули (31), математичне сподівання прибутку змінюється залежно від обсягу виробництва х за параболічним законом, причому вітки параболи спрямовані вниз.

Отже, існує такий рівень виробництва, при якому математичне сподівання прибутку досягає свого максимального значення. Щоб знайти цей оптимальний обсяг виробництва, продиференціюємо функцію (31) за змінною х і прирівнявши до нуля, отримаємо лінійне рівняння щодо шуканого обсягу виробництва х.

(32)

Як видно з формули (32) оптимальний розмір виробництва х не залежить від витрат на підготовку виробництва а(х). Переконавшись, що умова (17) виконується для знайденого значення (32), обчислимо тепер саме максимальне значення математичного сподівання прибутку. Підставивши у формулу (31) значення (32) і зробивши перед тим деякі спрощення, отримаємо

(33)

Структура формули (33), тобто математичного сподівання прибутку, стає практично прозорою у випадку, коли обсяг виробництва х планується на рівні верхньої межі можливого попиту; при x=w2 і враховуючи, що отримаємо

M(pr)=(d-b(k))M(w)-a(k)-a(w2-M(w) (34)

Отже, математичне сподівання прибутку не залежить від величини b, яка оцінює втрати від можливого недовиробництва. Очевидна структура сподіваного прибутку і у випадку, коли обсяг виробництва планується на рівні нижньої межі рівномірно розподіленого попиту. При x=w1 з формули (33) отримаємо

M(pr)=(d-b(k))w1-a(k)-b (M(w)-w1 (35)

Тут, математичне сподівання прибутку не залежить від параметру a, який оцінює втрати від надвиробництва одиниці продукції. Однак для всіх проміжних значень виробництва х в межах від w1 до w2 , сподіваний прибуток (33) залежить і від a і від b. Підставивши тепер у формулу (33) оптимальний обсяг виробництва (32) отримаємо наступну формулу

(36)

Отримана формула дозволяє оцінити обсяг інтелектуального капіталу k, який би максимізував сподіваний прибуток. Дослідимо тепер залежність інтелектуального капіталу від обсягів виробництва х у випадку, коли витрати на підготовку виробництва прямопропорційні величині k.

a(k)=a*k; (37)

а витрати на виробництво одиниці продукції обернено пропорціональні інтелектуальному капіталу k

b(k)=b/k; (38)

За умов (37) і (38) знайшовши математичне сподівання прибутку (33), продиференціюємо (38) за змінною k і прирівняємо отриману похідну до нуля.

Розв'язавши отримане рівняння відносно k, маємо

(39)

Виведена формула дозволяє оцінити обсяг інтелектуального капіталу у випадку лінійного розподілу попиту, коли витрати на підготовку виробництва прямопропорційні величині інтелектуального капіталу, а витрати на виробництво обернено пропорційні k.

Література:

1. Козырев. Интелектуальная собственность. Экспертное бюро – М, 1997. – 289с.

В работе описан процес получения формулы, котрая позволяет оценить объем интеллектуального капитала k, который может максимизировать ожидаемый доход. Предложенные методы позволяют оценить в инвестиционном анализе затраты в сфере интеллектуальной собственности.

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить