Статьи по экономическим темам

Кігель Володимир Романович, к. е.н., доц., здобувач КНЕУ

Економіко–математичне моделювання, разом з необхідним організаційним, технічним, програмним та інформаційним забезпеченням, є вагомим чинником підвищення ефективності рішень з фінансового менеджменту. Зокрема, при розв’язуванні задач оптимального управління портфелем фінансових активів, валютним резервом тощо. Саме ці дві задачі є предметом даної роботи. Проблема прийняття оптимальних фінансових рішень розглядатиметься далі у трьох аспектах: для детермінованого випадку, для випадку прийняття рішень в умовах ризику, а також в умовах невизначеності. У детермінованому випадку значення некерованих параметрів вважаються у момент прийняття рішення відомими. У випадку ризику некеровані параметри вважаються випадковими величинами з відомими певними їх статистичними характеристиками. Нарешті, в останньому випадку некеровані параметри вважаються невизначеними в межах певних діапазонів їх можливих значень.

Економіко–математичну модель задачі визначення найпереважнішого фінансового портфеля для детермінованого випадку записують так:

( 1 )

Відомими величинами задачі є такі: – наявний капітал інвестора; – кількість можливих напрямів інвестування; – номер окремого напряму інвестування ().

Некеровані параметри: – дохідність за –м напрямом інвестування (); у детермінованому випадку значення цих параметрів вважаються відомими.

Керовані змінні (невідомі, які підлягають визначенню) – це: – обсяг коштів, що вкладатимуться за –м напрямом інвестування (); – загальний доход інвестора; – цінність (корисність) доходу для ОПР.

Цільова функція моделі ( 1 ) відбиває вимогу визначення фінансового портфеля, найпереважнішого за величиною доходу для ОПР. Оскільки залежність корисності від доходу є зростаючою, наведена цільова функція рівносильна вимозі “”, тобто задача ( 1 ) зводиться до простої задачі лінійного програмування, навіть при нелінійній залежності корисності від доходу, що може спостерігатися у певних ОПР.

У випадку ризику, коли рівні дохідностей за різними напрямами інвестування () можна розглядати як випадкові величини, економіко–математична модель задачі визначення найпереважнішого фінансового портфеля визначається типом ставлення ОПР до ризику [1–2]. Для нейтральної до ризику ОПР модель така:

( 2 )

(тут – очікуваний рівень дохідності за –м напрямом інвестування, – очікуваний доход інвестора).

Для ОПР, ставлення якої до ризику відрізняється від нейтрального, маємо:

( 3 )

Це є двокритеріальна задача, оптимізаційна спрямованість другої цільової функції (показника дисперсії доходу) в якій є до мінімуму при несхильному, або ж до максимуму – при схильному ставленні до ризику ОПР. Бачимо. що для розв’язування цієї задачі потрібно, в додаток до попереднього випадку, володіти інформацією про стандартні відхилення дохідностей () та про коефіцієнти кореляції між дохідностями ().

В практичній діяльності часто зустрічаються випадки, коли детерміновані значення або статистичні характеристики рівнів майбутніх дохідностей визначити неможливо. Якщо відомими є лише діапазони можливих значень дохідностей (), то маємо задачу пошуку оптимального портфелю фінансових активів в умовах невизначеності. Вона може набирати такого вигляду:

( 4 )

В моделі ( 4 ) використано найпоширеніший максимінний критерій Вальда, який дозволяє досягти найкращого рівня доходу навіть у найгіршій з ситуацій щодо значень некерованих параметрів. Якщо потрібно, замість нього можуть бути задіяні і інші критерії прийняття рішень в умовах невизначеності [3, розділ 4].

Звернемося тепер до проблеми оптимального управління валютним резервом. Щоб постійно зміцнювати його цінність, валютний резерв потрібно періодично переформовувати, обмінюючи певну кількість валюти, відносна цінність якої зменшуватиметься, на таку, відносна цінність якої зростатиме [4].

У детермінованому випадку економіко–математична модель задачі оптимального переформовування валютного резерву має такий вигляд :

( 5 )

де – кількість різних валют, з яких створено або може бути утворено валютний резерв; – номер окремої валюти (); – поточна цінність існуючого валютного резерву, яка визначається наявною кількістю кожної з валют та поточною відносною цінністю цих валют .

Невідомими в задачі є: – кількість -ї валюти, яка міститиметься у переформованому валютному резерві; – загальна майбутня цінність переформованого валютного резерву. Вони визначаються конкретними значеннями некерованих параметрів – майбутньою відносною цінністю одиниці -ї валюти.

Далі розглянемо випадок прийняття рішення в умовах ризику. Вважатимемо некеровані параметри випадковими величинами з відомими середніми значеннями та стандартними відхиленнями (). При керуванні валютними резервами до ризику треба ставитися несхильно. Тому оптимальний склад валютного резерву за умов ризику розшукуватиметься серед ефективних планів двокритеріальної задачі:

( 6 )

де – коефіцієнт кореляції між параметрами та .

Перша цільова функція задачі ( 6 ) орієнтує на вибір такого валютного резерву, загальна очікувана цінність якого була б найбільшою. Друга цільова функція відбиває вимогу вибору валютного резерву з найменшою дисперсією своєї загальної цінності . Розв’язок задачі має відповідати системі переважань ОПР – оптимальний валютний резерв є таким з ефективних планів двокритеріальної задачі ( 6 ), при якому співвідношення показників очікуваної цінності та дисперсії цінності є найпереважнішим з точки зору ОПР.

Звернемося, нарешті, до випадку невизначеності. Задача визначення складу валютного резерву для випадку невизначеності щодо некерованих параметрів – показників майбутньої відносної цінності валют – записується так [5]:

( 7 )

У цільовій функції підкреслено, що цінність майбутнього валютного резерву є залежною як від складу цього валютного резерву , так і від недетермінованих некерованих параметрів , причому розв’язок задачі утворюватиме найпереважніший за цінністю валютний резерв з точки зору ОПР. Стосовно некерованих параметрів припускається, що відомі діапазони , у межах яких може знаходитися майбутня відносна цінність відповідної валюти (); враховано також вимогу нормування, згідно якої сума показників відносних цінностей всіх валют завжди дорівнює одиниці.

За відсутності довільної додаткової інформації про некеровані параметри оптимальний склад валютного резерву доцільно визначати за максимінним критерієм Вальда, що забезпечуватиме отримання валютного резерву якнайбільшої цінності у найгіршій з ситуацій щодо значень некерованих параметрів. З використанням цього критерію задача ( 7 ) набирає вигляду:

. ( 8 )

Можна показати, що розв’язок цієї максимінної задачі буде отримано шляхом визначення розв’язку у певному розумінні двоїстої до неї мінімаксної задачі

, ( 9 )

яку досліджувати та розв’язувати дещо простіше, аніж вихідну задачу ( 8 ).

Процес розв’язування мінімаксної задачі ( 9 ) можна розкласти на два етапи. На першому етапі розшукуватимуться значення некерованих параметрів – розв’язанням оптимізаційної задачі

( 10 )

а вже на другому етапі – оптимальний склад валютного резерву :

( 11 )

Досліджуючи задачі ( 10 )–( 11 ) робимо, зокрема, висновок про те, що коли для всіх , то тоді і , тобто переформовувати існуючий валютний резерв недоцільно. Навпаки, потреба у переформуванні валютного резерву може виникнути лише тоді, коли принаймні для однієї з валют діапазон можливих значень її майбутньої відносної цінності не включатиме поточного значення відносної цінності цієї валюти , тобто коли для деякого .

Запропоновані економіко–математичні моделі можна використовувати для розв’язування задач оптимального управління портфелем фінансових активів або валютним резервом. Вони не вимагають складного математичного забезпечення, а тому можуть бути корисними для широкого кола користувачів.

Література:

1. Кигель В. Р. Свойства и поиск оптимальных финансовых портфелей для ЛПР с разными отношениями к риску //Финансовые риски. – 1999. – № 2.– С. 86 – 91.

2. Кигель В. Р. Исследование задачи определения наиболее предпочтительного финансового портфеля для ЛПР с разными отношениями к риску //Финансовые риски. – 1999. – № 3–4.– С. 98 – 104.

3. Кігель В. Р. Математичні методи прийняття рішень у ефективному підприємництві. – К.: ІЕУГП, 1999. – 269 с.

4. Кігель В. Р. Економіко–математичне моделювання в управлінні валютними резервами. (У редакції).

5. Кігель В. Р. До питання про оптимальне управління валютним резервом в умовах невизначеності. (У редакції).

В статье предложены подходы к формализации економико-математических моделей поддержки принятия решений в финансовому менеджменте, которые можна использовать в задачах оптимального управления портфелем финансовых активов или валютным резервом. Проблемы принятия оптимальных финансовых решений рассматриваются для детерминированых случаев, в условиях риска и неопределенности.

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить