Статьи по экономическим темам

Р. В. КРАСЮК, економіст, Український центр післяприватизаційної підтримки підприємств

Планування випуску продукції підприємства — дуже важлива задача, правильне розв’язання якої визначає успішність його роботи. Випуск продукції визначається багатьма факторами, до яких належать:

- оцінка попиту;

- характеристика обладнання та технологій при випуску продукції;

- характеристика поставки сировини та комплектуючих;

- забезпеченість виробництва робітниками з кваліфікацією, що вимагається (кадрова проблема).

У низці робіт [1, 2] показано, що найкращі результати діяльності підприємства досягаються, коли обсяг випуску продукції визначається прогнозуванням попиту.

Як збільшення, так і зменшення обсягу продукції, що випускається, потребує витрат матеріальних і часових ресурсів.

При збільшенні обсягу випуску продукції необхідні:

- інвестиції для забезпечення обладнання та технологій;

- будівництво виробничих приміщень, транспортних комунікацій, складських приміщень, створення підрозділів зі збуту, збереження та доставки продукції споживачу;

- розширення служби маркетингу для забезпечення ринкових операцій;

- розширення служби контролю якості продукції та науково-дослідних розробок з удосконалення продукції.

При зменшенні обсягу випуску продукції необхідно:

- вирішити соціальні проблеми скорочення кадрів;

- вирішити проблеми реалізації обладнання, що звільняється, та забезпечувальних засобів;

- реалізувати накопичені запаси сировини та готової продукції.

Невирішення цих питань веде до збитків, іноді значних.

Ключовим параметром планування та управління на підприємстві при зміні обсягу випуску продукції є прогноз попиту на продукцію, оскільки всі зазначені заходи потребують матеріальних і часових витрат на підприємстві, а також узгодження з поста­чальниками, споживачами та організаціями, з якими підприємство зв’язане договорами й зобов’язаннями.

За часом випередження в прогнозуванні попиту розрізняють попит [3] короткостроковий — до 1 року, середньостроковий — до 5—10 років і довгостроковий — 10 років і більше. Головними джерелами інформації для вивчення та прогнозування попиту є результати маркетингових досліджень. Основними методами прогнозування попиту є методи статистичного моделювання, нормативний метод і метод експертних оцінок. Широке застосування для прогнозування знайшли статистичні моделі: структурні, регресивні, екстраполяційні (трендові).

Розглянемо використання методу регресивного аналізу.

Інерційність процесу, що прогнозується та досліджується, розглядається з двох точок зору [3]: збереження взаємозв’язку прогнозованого процесу з часом та збереження загальної тенденції розвитку процесу в часі. При цьому підбирається аналітичний вираз (модель тренда) по даних за минуле з можливістю екстраполяції отриманого тренда шляхом використання рівняння регресії. На рівняння регресії відводиться задача визначення цієї залежності. Найчастіше оцінювання параметрів рівняння регресії досягається за допомогою використання методу найменших квадратів. У найпростішому випадку рівняння регресії має вигляд

у = a + bx + E, (1)

де Е — випадкова перемінна, що характеризує відхилення від теоретичної лінії; назвемо її збуренням. Рівняння (1) характеризує деякі середні значення у для даного значення х з урахуванням можливих відхилень від середнього за рахунок збурення. Відносно збурення Е висуваються такі пропозиції:

1. Збурення Е є випадковою величиною.

2. Математичне сподівання Е дорівнює 0.

3. Дисперсія збурень постійна.

4. Послідовні значення Е не залежать одне від одного.

Нехай маємо експериментально отримані ряди значень:

у = {у1, у2, …, уn} = {уi};

х = {х1, х2, …, хn} = {хi}.

Рівняння регресії запишемо у вигляді [2]

= a + bx.

Відхилення від уі позначимо через еі, тоді

еі = уі = уі – (а + bхі),

де уі — фактичне, — розрахункове значення залежної перемін­ної у.

Величина еі є показником розсіювання точок уі відносно лінії регресії. Відповідно до методу найменших квадратів Σе2і = f (a, b) має бути мінімальною, тобто Σе2і = min.

Знайдемо для функції

окремі похідні і прирівняємо їх до нуля:

(2)

Приведемо систему (2) до вигляду (пропустивши для простоти записи індексів підсумовування)

(3)

Позначимо середні значення ряду хі та уі через

та з першого рівняння системи (3) отримаємо

my = a + bmх. (4)

Значення змінних хі та уі можуть бути виміряні у відхиленнях від середніх значень як хіmx та уі.

Позначимо ці різниці через та відповідно.

Початок координат при цьому переміститься в точку mx, , а система рівнянь (3) спроститься, оскільки та природно дорівнюють 0. В цьому разі рішення другого рівняння системи (3) відносно b дає

(5)

а з рівняння (4) отримуємо

а = myb . (6)

Необхідні для розрахунку b суми відхилень можуть бути отримані по вихідних даних таким чином:

(7)

Якщо у вираз, який тільки-но виведено, замість уі, та my під­ставимо хі, та , то отримаємо

(8)

Рівняння регресії характеризує взаємозв’язок між змінними х та у. Проте у самому рівнянні нема вказівки на близькість значень, що фактично спостерігаються ({хі}{уі}), та розрахункових, отриманих по регресії. Тому для оцінки емпіричної міри лінійної залежності між х та у визначаємо коефіцієнт кореляції по вибірці значень х та у за формулою

(9)

Для отримання r за формулою (9) необхідно знайти величину Решта величин, що входять в неї, вираховується при оцінці параметрів регресії а та b за формулою (5). За аналогією з (8) знаходимо

Величина r лежить між –1 та +1. Для перевірки істотності кореляційного зв’язку при невеликому n використовується формула

.

Тут величина t задовольняє розподілу Стьюдента і її можна зіставити з табличним значенням tα при n – 2 ступенях свободи.

Дійсні значення у збігаються з розрахунковими за рівнянням регресії лише в середньому, оскільки лінія регресії описує її в цілому. Окремі спостереження розсіяні навколо неї. Надійність визначення у визначається дисперсією відхилень, значенням Σ еі2. Величина еі може бути знайдена з виразу

звідки

. (10)

Останній член виразу (10) можна визначити, використовуючи вираз (5):

.

Тоді Σ еі2 можна обчислити, обминувши означення еі:

.

Отримана величина Σеі2 дає можливість визначити оцінку відхилення значення у від лінії регресії. Ця оцінка (S) дорівнює сумі квадратів відхилень, поділеній на число ступенів свободи, яке дорівнює n – 2 у зв’язку з тим, що два ступені свободи губляться при визначенні двох параметрів а та b.

У цьому випадку:

Для визначення довірчого інтервалу при визначенні у враховуємо, що оскільки оцінки а та b здійснювалися по вибіркових даних, то вони мають похибку. Похибка у значенні а посуває рівняння регресії вертикально, похибки у визначенні b призводять до «похитування» лінії регресії навколо осі з координатами , ух.

Таким чином, дисперсія значень залежної змінної у буде складатися з двох компонент — дисперсії параметра а та дисперсії параметра b.

Зручніше визначити дисперсію ур у деякій розрахунковій точці хр (значення змінної х виражено у вигляді відхилення від серед­ньої, аналогічного визначенню ) як суму складових дисперсій рівнянь регресії, звідки:

. (11)

Знаючи дисперсію визначення ур легко знайти довірчий інтервал визначення у. Так, для значення ур довірчі межі визначаються співвідношенням

ур ± tα Sур, (12)

де tα — статистика Стьюдента.

Довірча область, визначена за формулою (12), визначається можливими відхиленнями лінії регресії, проте рівняння регресії відповідно до (1) мають в правій частині ще випадкову складову Е, тому в сумарну дисперсію слід ще включити S:

. (13)

Звідки оцінка у дорівнює

у = ур ± tαSp.

Розглянемо застосування для прогнозування статистичного ряду моделі автокореляції та авторегресії [3]. Автокореляція — це кореляційна залежність між послідовними (сусідніми) значеннями рівнів часового ряду у1 та у2, у2 та у3, у3 та у4 і т. д. Щоб оцінити ступінь залежності між сусідніми рівнями часового ряду (автокореляція), розраховують коефіцієнти автокореляції між рівнями вихідного ряду (у1, у2, у3 …) та того самого ряду, але зсунутого на τ у часі (уτ, уτ+1, уτ+2, …). Величина τ називається кроком.

Послідовність значень коефіцієнтів автокореляції , обчислених при τ = 1, 2, …, l, називається автокореляційною функцією. Ця функція дає глибоке уявлення про внутрішню структуру процесу, що вивчається. Так, коефіцієнт автокореляції першого порядку (τ = 1) представляє собою парний коефіцієнт кореляції між двома рядами:

у1, у2, у3, …, уn-1 та у2, у3, …, уn-1, уn.

Тоді

,

де

Після алгебраїчних перетворень:

Аналогічним шляхом розраховуються коефіцієнти автокореляції другого порядку (τ =2), третього (τ = 3) і т. д.

Загальна формула розрахунку коефіцієнта автокореляції порядку τ має вигляд

.

При розрахунку коефіцієнтів автокореляції зі зростанням порядку число пар кореляції зменшується до n – τ, а відомо, що при невеликій кількості спостережень n значущими виявляються лише високі коефіцієнти кореляції. Звідси випливає, що найбільше значення τ має бути таким, щоб число пар спостережень виявилося достатнім для обчислення коефіцієнтів автокореляції rτ.

У практиці орієнтуються, щоб

Ламана лінія, побудована в осях координат τ та rτ, називається корелограмою, вона дає змогу оцінити особливості стохастичного процесу, який відображається рядом, що вивчається.

При аналізі часових рядів необхідно встановити факт існування автокореляції. Найбільш поширеним методом перевірки цієї обставини на сьогоднішній день є критерій Дарбіна—Уотсона [1, 3]. Гіпотеза про наявність автокореляції перевіряється за допомогою випадкової величини

(14)

Можливі значення критерію d знаходяться в інтервалі 0 — 4. Якщо автокореляція в ряду відсутня, то значення d коливаються біля 2. Таблицю значень d1 та d2 , з якою порівнюється d, наведено в [3]. При порівнянні d зі значеннями d1 та d2 можуть бути три результати:

d < d1 — ряд має автокореляцію;

d > d2 — автокореляція відсутня;

d £ d £ d2 — потрібні подальші дослідження.

У табл. 1 наведено фрагмент таблиці критерію Дарбіна—Уотсона.

Таблиця 1 ЗНАЧЕННЯ КРИТЕРІЮ ДАРБІНА—УОТСОНА З РІВНЕМ ЗНАЧУЩОСТІ α = 0,05

Число спостережень n

d1

d2

15

1,08

1,36

16

1,1

1,37

17

1,13

1,38

18

1,16

1,39

19

1,18

1,4

20

1,2

1,41

25

1,29

1,45

30

1,35

1,49

Для побудови авторегресійної моделі необхідно визначити її порядок. Спочатку будуємо рівняння авторегресії першого порядку:

= а0 + а1 уt–1

і для неї знаходимо коефіцієнт автокореляції r1. Після цього будується модель другого порядку:

= а0 + а1 уt–1 + а1 уt–2

і для неї розраховуємо сукупний коефіцієнт автокореляції R1. Якщо R1 > r1, то будується модель третього порядку і для неї розраховується коефіцієнт R2. Ці побудування продовжуються до тих пір, поки коефіцієнт практично стане незмінним.

Множинний коефіцієнт автокореляції визначається за формулою

де r1 — парні коефіцієнти автокореляції;

βі — коефіцієнти регресії.

Прогнозування розвитку економічного процесу, в тому числі попиту продукції на ринку, може бути здійснено в першому наближенні з використанням методів екстраполяції. Передбачення подій дає можливість приготуватися до них завчасно, врахувати позитивні та негативні наслідки і, по змозі, вплинути на їх перебіг і розвиток. Приступаючи до вивчення деякого процесу, перш за все слід встановити наявність у ньому тенденцій розвитку. Простий метод вирішення цієї задачі базується на перевірці різниць середніх рівнів. Для малих виборок ряд, що досліджується, розбивається на дві частини, які розглядаються як дві вибірки.

Перша вибірка має середнє значення , друга — . Використовуємо t-cтатистику Стьюдента [4]. При рівності або несуттєвій різниці обох виборок (σ1»σ1) t-статистика вираховується за допомогою виразу:

(15)

де S — середньостатистичне відхилення різниці середніх.

Для tα, табличного значення t-статистики при довірчій вірогідності α при t ³ tα приймається гіпотеза про наявність тренда, при t < < tα — про його відсутність.

Величина S може бути визначена за формулою:

де n1 та n2 — число спостережень у групах, S1 та S2 — середньоквадратичне відхилення в групах, n1 – 1 та n2 – 1 — число ступенів свободи для груп відповідно.

Припущення щодо близькості дисперсій у групах перевіряється за допомогою F-критерію Фішера, який базується на порівнянні розрахункового відношення

з табличним. При F менше табличного значення гіпотеза про близькість дисперсій приймається, в противному випадку гіпотеза відхиляється і формула (15) неприйнятна.

Запропонований метод простий у реалізації, але може бути нечутливим, особливо до невеликого (відносно значень рівнів) тренда.

Більш надійні результати дає метод Фостера—Стюарта.

За цим методом по даних ряду, що досліджується, визначаються величини ut та lt шляхом послідовного порівняння. Якщо будь-який рівень ряду перевищує кожний із попередніх рівнів ряду, то ut = 1, в інших випадках ut = 0. Це можна записати так:

Для lt — навпаки, якщо рівень уt менше всіх попередніх, то lt = 1. Таким чином:

Після визначення ut та lt знаходяться характеристики S та d відповідно до правила:

(16)

(17)

(18)

(19)

Неважко помітити, що St = 0V1 : St = 0 у випадку, якщо уt не є ні найбільшим, ні найменшим рівнем ряду серед усіх попередніх рівнів, інакше St = 1. Легко побачити, що 0 £ S £ n – 1. Якщо всі рівні однакові, то S = 0, якщо ж вони монотонно зростають чи падають або коливання їх чергуються, то S = n – 1. У свою чергу dt = 0V1–1, –(n – 1) £ d £ n – 1. Нижня межа відповідає монотонно спадаючому, а верхня — монотонно зростаючому ряду.

У випадку, коли d = 0, проявляється слабкість методу, що розглядається: якщо всі рівні однакові, то Σut = 0, Σlt = 0 та d = 0, крім того, d = 0, коли Σut = Σlt. У першій ситуації повністю відсутній тренд, у другій — ряд охоплює два періоди з протилежними тенденціями. Крім того, d = 0 у випадку, коли періоди підйому та падіння рівнів чергуються.

Величини S та d асимптотично нормальні й мають незалежні розподіли. За допомогою S можливо перевірити, чи існує тренд зміни в дисперсіях, а d дає змогу знайти наявність тренда в середній. З цією метою перевіряються гіпотези про те, чи суттєво відрізняється d від 0 та S від μ1, де μ — математичне сподівання S. Ці гіпотези перевіряються за допомогою випадкових величин

, (20)

де: σ1 — середня квадратична помилка Ѕ;

σ2 — середня квадратична помилка d.

Значення μ, σ1, σ2 табульовані [4] для різних n (табл. 2).

Величини Т1 та Т2 мають розподіл Стьюдента з (n – 1) ступенями свободи. Значення Т1 та Т2, визначені за формулами (20), порівнюються з табличними, визначеними для розподілу Стьюдента з (n – 1) ступенями свободи при заданому рівні значущості α.

Таблиця 2 ЗНАЧЕННЯ μ, σ1, σ2

n

μ

σ1

σ2

10

3,858

1,288

1,964

15

4,636

1,521

2,153

20

5,195

1,677

2,279

25

5,623

1,791

2,373

30

5,990

1,882

2,447

35

6,294

1,956

2,609

40

6,557

2,019.

2,561

Якщо Т1 розр > tтабл, то тренд в середньої існує, інакше — ні.

Аналогічно, якщо Т2 розр > tтабл, то тренд в дисперсії існує.

Після встановлення факту наявності тренда часового ряду конструюється модель, що відображає тенденцію часового ряду. Найбільш поширеним та простим способом моделювання тенденції процесу є згладження (аналітичне вирівнювання) часового ряду. За допомогою такої моделі виконується інтерполяція та екстраполяція процесу, тобто його прогнозування в часі.

Найбільш поширені лінійні тренди, що представляються формулою

, (21)

де — згладжене (вирівнене) значення рівня на момент t;

ак — вага, що приписана рівню ряду, віддаленому на відстань k від моменту t;

l — число рівнів ряду до моменту t.

Залежно від того, які значення набувають ваги аk, згладжування за формулою (21) буде виконано або за допомогою заходів, що базуються на використанні середніх темпів зростання, ковзних середніх, зважених ковзних середніх, середніх приростів, експоненціальних середніх [4].

Процес вирівнювання складається з двох основних етапів.

Вибір типу кривої, оцінювання параметрів кривої. Існують різні прийоми вибору кривої, що апроксимує дійсний процес. Найбільш простий шлях — це візуальний, на основі графічного зображення часового ряду. За виглядом графіка підбирається рів­няння кривої, яке відповідає емпіричному ряду. Тут можуть бути:

1) поліноми:

= а0 + а1t — першого ступеня;

= а0 + а1t + а2t2 — другого ступеня;

= а0 + а1t +… акtкк-го ступеня;

2) різні експоненти:

= а0 а1t,

,

уt = а0 + b а1t — модифікована експонента;

3) логістичні криві:

де: е — основа натурального логарифму,

4) крива Гомперца:

Для визначення порядку полінома використовується метод послідовних різниць. Сутність цього методу полягає у знаходженні перших, других і т. д. різниць рівнів:

Dt1= ytyt – 1; Dt2= Dt1 – D1t – 1; Dt2= Dt2 – D2t – 1 і т. д.

Розрахунок різниць ведеться до тих пір, поки різниці будуть приблизно рівними. Порядок цих різниць і приймається за порядок полінома, який шукаємо.

При виборі форми кривої слід виходити з теоретичного аналізу рядy, що досліджується. Якщо рівні ряду збільшуються в ариф­метичній прогресії, то згладжування виконується по прямій, якщо зростання рівнів іде в геометричній прогресії, то згладжування треба проводити по показовій функції. При вирівнюванні часових рядів, що характеризуються прагненням до деякої граничної величини (насичення), використовуються логістичні функції.

Після вибору форми кривої необхідно оцінити параметри відповідної моделі. Ця задача вирішується, в основному, методом найменших квадратів.

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

1. Мирзоахмедов Ф. Математические модели и методы управления производством с учетом случайных факторов. — К.: Наук. думка, 1991. — 224 с.

2. Первозванский А. А. Математические модели в управлении производством. — М.: Наука, 1975. — 616 с.

3. Гамбарев Г. М., Журавель Н. М., Королев Ю. Г. и др. / Под ред. А. Г. Гранберга. — М.: Финансы и статистика, 1990. — 386 с.

4. Четыркин Е. М. Статистические методы прогнозирования. — М.: Статистика, 1977. — 200 с.

5. Рабочая книга по прогнозированию. — М.: Мысль, 1982. — 430 с.

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить