Статьи по экономическим темам

Прикладные математические модели

1. Модель оценки рыночной стоимости предприятия.

2. Упрощенные модели учета риска в величине нормы дисконта.

3. Модели выбора инвестиционного проекта.

1. Модель оценки рыночной стоимости предприятия.

Проблема оценивания имущества предприятий имеет особую актуальность в связи с их приватизацией, передачей в аренду, созданием совместных предприятий и т. п. Важно оценить имущество во время подсчета национального богатства, перестройки налоговой системы. В странах с развитой рыночной экономикой взимаются налоги на капитал (имущество) в разнообразных формах. Кроме того, в связи с динамикой имущества его нужно все время переоценивать. Поэтому переоценивания являются не разовой, а постоянной процедурой.

Принимая решения о купле объекта (предприятия) и его приспособления для ведения той или иной деятельности, предприниматель (покупатель, инвестор) оценивает будущие доходы от функционирования объекта, общий (интегральный) дисконтированный доход и сравнивает, его со своим интегральным дисконтированным капитальным вложением.

Важным этапом здесь является определение нормы дисконта – ожидаемой нормы отдачи на альтернативные и доступные на рынке инвестиционные возможности с учетом риска. Финансисты постоянно решают задачи определения настоящей стоимости денежных средств (Present Value – PV) и будущей стоимости (Future Value – FV), то есть стоимости денег с учетом добавленных процентных выплат.

Для определения будущей стоимости используют формулу:

, (1)

где начальная стоимость, годовая ставка процента, количество лет.

Настоящую стоимость денег определяют по формуле:

, (2)

где будущий доход, который поступит через лет, годовая ставка дисконта, количество лет.

Существуют случаи, когда финансовый менеджер обязан определить настоящую стоимость аннуитета – последовательность выплат за определенные регулярные промежутки времени. Аннуитетом могут быть – выплаты (или инвестиции) ежегодные, полугодовые, ежеквартальные, ежемесячные. Каждую отдельную выплату, которая входит в состав аннуитета, называют его членом. Настоящую стоимость годового аннуитета можно вычислить по формуле:

, (3)

где количество лет, суммы, которые выплачиваются за й промежуток времени, ставка дисконта.

В расчетах лимитных цен на имущество предприятий важную роль играет установление научно обоснованной нормы (ставки) дисконта , под которой понимают норму дохода на альтернативные и доступные на рынке инвестиционные возможности с приблизительно таким же уровнем риска. Это норма отдачи на вложенный капитал, которая может стимулировать инвесторов к соответствующим взносам.

Существует простое правило: высокий риск означает высокую ставку дисконта (капитализации), маленький риск – низкую соответствующую ставку.

Вообще для оценивания учетных ставок используют следующие принципы:

1. Из двух будущих поступлений высшую учетную ставку имеет то, что поступит позднее.
2. Чем ниже ожидаемый уровень риска, тем ниже должна быть ставка дисконта.
3. Если общие процентные ставки на рынке возрастают, будут возрастать и учетные ставки.

Инвесторы нередко определяют ставку дисконта , прибавляя к ставке (норме) безрисковой отдачи (например, норме годового дохода по государственным ценным бумагам) так называемую премию за риск.

2. Упрощенные модели учета риска в величине нормы дисконта.

Риск характеризуют как деятельность относительно принятия решения, связанного с преодолением неопределенностей в ситуации неминуемого выбора, в ходе которой можно количественно оценить, в частности, вероятность достижения ожидаемого результата, неудачи и отклонение от цели.

В случаях наблюдающейся изменчивости доходов, ее часто измеряют с помощью стандартного отклонения. Связь между величиной ожидаемого дохода и степенью риска вычисляется, в частности, по формуле

, (4)

где безопасная ставка дохода; стандартное отклонение заданной комбинации ценных бумаг с рискованным и безрисковым активами.

Известна модель оценки капитальных активов (МОКА), то есть модель, которая прогнозирует риск с ожидаемым доходом от проекта. Эта модель разделяет риск на две составляющие: дифференцированный и недифференцированный риски. Имеются в виду связи между доходами отдельных собственников ценных бумаг и общими доходами рынка ценных бумаг. Уравнение, которое упрощенно отражает зависимость между доходностью и доходностью рынка, имеет вид:

, (5)

где коэффициент, который определяет меру чувствительности или рискованность акций сравнительно с общей доходностью рынка; доходность рынка; некоторая константа; значение ошибки (в более упрощенной модели ).

МОКА дает возможность легко сравнивать рискованность отдельных акций. При этом, важной предпосылкой является то, что дисперсия относительно линии (5) не должна быть большой. В противном случае следует учитывать дополнительные элементы риска, воспользовавшись нелинейными моделями.

Модель линии надежности рынка (ЛНР) показывает, что необходимые величины доходности активов состоит из безопасной ставки и премии за риск. Если оценивать риск с помощью коэффициентов , то формулу для определения необходимой доходности акций (ставки дохода) можно представить в виде:

,

где безопасная ставка; средняя доходность рынка; недиверсифицированный риск.

Для вычисления настоящей стоимости ожидаемых доходов целесообразно пользоваться упрощенной зависимостью:

, (6)

где будущая стоимость ожидаемых доходов; количество лет.

Вероятностная модель влияния факторов риска

Постановка задачи. Процесс получения дохода от функционирования объекта характеризуется интенсивностью (скоростью) . Тогда доход, получаемый за малый интервал времени будет . Будем считать известной интенсивность получения дохода на начало функционирования объекта (в момент времени ). На дальнейшую динамику этого показателя влияют две группы факторов:

1. Физическая изнашиваемость основных средств. Предположим, что в зависимости от возраста основных средств доход уменьшается линейно:

(7)

Известно, что объект целесообразно эксплуатировать до тех пор, пока доход у него не отрицательный. Поэтому в конце срока эксплуатации (в год ) может быть . Отсюда

или . (8)

2. Разного рода случайные факторы, которые предопределяют риск использования объекта. Если бы их влияния не было или риск был бы несущественным, то при известной норме дисконта доход от функционирования объекта исчислялся бы по формуле:

. (9)

Известны три типа случайных факторов, которые влияют на доходность объектов: случайные «сбои» в производстве, резкие изменения в экономической среде («катастрофы»), случайные колебания цен, налогов и объемов спроса.

Чтобы адекватно отобразить эти факторы в норме дисконта , нужно выполнить два варианта расчета доходности от рассматриваемого объекта.

В первом, с использованием нормы дисконта , упомянутые случайные факторы вообще не берутся во внимание, а интегральный дисконтированный доход оценивается в соответствии с (9).

Во втором, с использованием «безрисковой» нормы , эти факторы включаются непосредственно в соответствующую модель случайного процесса изменения интенсивности дохода.

Тогда значение нормы дисконта , которое учитывает факторы риска, целесообразно сделать такими, чтобы оба варианта расчетов одинаково оценивали эффективность функционирования объекта.

Случайные «сбои» производства

Пусть в момент времени объект характеризуется некоторой интенсивностью получения дохода . Пусть на протяжении следующего малого интервала времени или произойдет «сбой» в производстве с вероятностью , или объект функционирует «нормально» с вероятностью . Если «сбой» произойдет на его устранение потребуется некоторое время (будем считать эту величину малой, но не бесконечно малой), а также понадобятся дополнительные затраты , вообще говоря, случайные.

Предположим, что после этого производство возвращается к своему предыдущему состоянию, то есть «сбой» не уменьшает время функционирования объекта.

Катастрофы

Одновременно с данным покупателем (собственником объекта) один и тот же вид деятельности осуществляют другие предприниматели. Может произойти так, что кто-то из них разработает новый эффективный способ (технологию) производства соответствующей продукции, в связи с чем, цена на продукцию резко упадет. Тогда дальнейшее функционирование первого объекта уже не будет обеспечивать дохода, что для предпринимателя станет экономической катастрофой. Аналогичная ситуация возможна и при существенном изменении действующего налогового законодательства или политической ситуации в регионе.

Пусть вероятность такой «катастрофы» в интервале равняется , где интенсивность «катастроф», которые не зависят от . Оценить вероятность таких ситуаций возможно лишь экспертно, с учетом результатов анализа научно-технического прогресса в соответствующей производственной области (подотрасли) и прогноза экономической и политической ситуации.

Поскольку величины и – малы, «катастрофы» в период существования последствий «сбоя» будем считать невозможными.

Колебания цен, налогов и объемов спроса

На протяжении периода функционирования объекта цены на продукцию, сырье, материалы, комплектующие изделия, а так же объемы спроса и ставки налога могут изменяться. Под влиянием этих факторов интенсивность получаемого дохода также будет случайно колебаться. Колебания интенсивности будут иметь нулевое математическое ожидание и характеризоваться определенным разбросом (дисперсией). Очевидно, что в малом интервале – дисперсия тоже мала, а интенсивность не зависит от амплитуды таких колебаний в предшествующие отрезки времени.

Учитывая это, можно предположить, что эти колебания описываются моделью винеровского случайного процесса, то есть что интенсивность дохода в близкие моменты времени и удовлетворяет соотношению:

, (10)

где среднее квадратическое отклонение случайных колебаний интенсивности дохода за единицу времени (средний квадрат таких колебаний за время будет равняться при этих условиях ; винеровский случайный процесс.

Математическое ожидание дохода в случае учета факторов риска

Обозначим через значение математического ожидания интегрального дисконтированного дохода (по норме дисконта ) от эксплуатации объекта до истечения срока его функционирования (случайная величина). Пусть в начальный момент производство функционировало «нормально», а интенсивность получаемого дохода была . Очевидно, что . Естественно рассматривать случай . Заметим, что для определения не имеет значения, какой, собственно, момент времени брать за начальный. Это дает возможность дисконтировать доходы к моменту .

Рассмотрим малый интервал времени . Здесь возможны три ситуации.

1. С вероятностью произойдет сбой в производстве. На устранение его последствий понадобятся затраты (случайная величина), дисконтированная величина которых . Производство нормализуется через случайный промежуток времени (случайная величина), после чего объект перейдет к нормальному состоянию, которому отвечает математическое ожидание интегрального дисконтированного дохода . В этом случае разновременные доходы сводятся к времени полной ликвидации последствий «сбоя». Если свести доход к моменту времени , то величину следует умножить на соответствующий коэффициент дисконтирования .

Предположение, что время ликвидации «сбоя» случайно и удовлетворяет экспоненциальному закону распределения со средним значением , математическое ожидание дисконтированного коэффициента можно представить в виде

. (11)

Считая, что дополнительные затраты в процессе устранения последствий сбоя происходят равномерно, а их величина за единицу времени составляет , найдем математическое ожидание дисконтированных затрат связанных с одним «сбоем»:

. (12)

2. В течение интервала времени с вероятностью состоится экономическая катастрофа. В таком случае производство остановится, а потому интегральный дисконтированный доход от последующего функционирования объекта получит нулевое значение.

3. На интервале с вероятностью объект будет функционировать нормально. Тогда за время доход будет составлять , после чего интенсивность его получения изменится на величину за счет физического старения основных средств, а также в соответствии с (10) – на под влиянием случайных колебаний цен и (или) налогов. Поэтому в момент времени объект будут характеризоваться интенсивностью дохода . Этому соответствует интегральный дисконтированный (до момента времени ) доход, который равен .

Учитывая вероятность любой из рассмотренных ситуаций и то состояние, в котором находится объект после них, можно записать выражение для математического ожидания дисконтированного дохода от функционирования объекта.

Предположим, что функция достаточно гладкая, и при условии ее вторая производная существует и является непрерывной. Тогда, разложив последний сомножитель в ряд Тейлора и учтя, что величина имеет нулевое значение математического ожидания и дисперсию , получаем уравнение

(13)

где . Линейная функция является частным решением уравнения (13). Общее же решение можно представить в виде суммы и решения соответствующего однородного дифференциального уравнения:

. (14)

Очевидно, что (14) имеет два линейно независимых решения и , где

. (15)

Величины это корни соответствующего характеристического уравнения.

Таким образом, общее решение уравнения (13) имеет вид:

.

Из (15) следует, что . Тогда, если , то функция , при , экспоненциально растет до (при ) или экспоненциально убывает до (при ). Сравнивая с детерминированным случаем, видим, что функция может возрастать не быстрее, чем . Это возможно лишь тогда, когда .

В соответствии с начальными условиями имеем: и тогда:

. (16)

В частности, математическое ожидание интегрального дисконтированного дохода от функционирования объекта с момента, когда началась на нем ответственная деятельность, после того как приобрел его в собственность данный предприниматель, можно вычислить по формуле (16) при условии, что , то есть

.

Агрегирование влияния случайных факторов в один показатель

Если: и , то (16) преобразуется в (9). Реальная динамика дохода предприятия не всегда совпадает с линейной моделью (7). Поэтому удобно ограничиться прогнозированием динамики среднего значения дохода, агрегировав в один показатель всю существующую информацию о влиянии случайных факторов.

Сравнивая (9) и (16), получим:

. (17)

Обозначим:

.

Тогда:

. (18)

Решая (18) относительно , затем, вычисляется значение:

. (19)

Таким образом: норма дисконта с учетом риска отличается от корректирующим коэффициентом .

3. Модели выбора инвестиционного проекта.

В настоящее время большинство предприятий не имеет собственных источников финансирования капитальных вложений. В этих условиях большое значение приобретают научно-обоснованные расчеты относительно экономической эффективности инвестиционных проектов и их отбора из ряда предварительно обработанных альтернативных вариантов для финансирования и реализации.

Инвестиции – это временный отказ экономического субъекта от потребления имеющихся в его распоряжении ресурсов (средств) и использовании этих средств для роста своего благосостояния в будущем.

Инвестиционный проект – это план или программа мероприятий, связанных с осуществлением капитальных вложений с целью последующего возврата средств и получения прибыли.

Инвестиционный процесс – это развернутая во времени реализация инвестиционного проекта.

Для оценки эффективности инвестиционных проектов необходимо, в частности, осуществить:

1. сбор и обработку первичной информации;

2. моделирование потоков продукции, ресурсов, средств;

3. учет результатов анализа финансового состояния предприятия, которое реализует инвестиционный проект;

4. выявление влияния реализации инвестиционного проекта на окружающую среду;

5. приведение будущих разновременных доходов и затрат к условиям их соизмеримости;

6. учет влияния факторов инфляции;

7. учет неопределенности и обусловленного этим риска;

8. сравнение результатов и затрат с ориентацией на достижение ожидаемой нормы прибыли.

Одним из важных показателей оценки экономической эффективности инвестиционных проектов является чистая текущая стоимость:

, (20)

где ставка дисконта, которая учитывает риск, чистый поток денежных средств в течение го интервала планового периода (нет ограничений в знаке):

, (21)

где валовая прибыль на й интервал планирования, амортизационные отчисления, инвестиционные затраты, налоги; для начальные инвестиции. В последний по времени прогнозируемый чистый поток денежных средств входит остаточная стоимость активов (основного и оборотного капиталов), которая возвращается.

В отличии от (21), существуют различные и более детальные модификации для вычисления .

В общем случае является функцией многих переменных , большинство из которых можно трактовать как случайную (нечеткую) величину, поэтому и функция этих переменных является случайной (нечеткой), то есть:

. (22)

Неустраненная информационная неопределенность влечет за собой неотвратимый риск, отягощающий инвестиционные решения. Существуют многочисленные методы анализа рисков, который позволяет инвестору принимать рациональные решения в условиях неопределенности.

Риск, присущий экономической деятельности – это экономическая категория, которая отображает характерные особенности восприятия заинтересованными субъектами экономических отношений объективно существующих неопределенности и конфликтности, сопутствующих процессам целеустановления, управления, принятия решений, оценивания.

Оценка риска является многомерной величиной, которая характеризует возможные отклонения от целей, от ожидаемого результата, возможные убытки с учетом влияния контролируемых (управляемых) и неконтролируемых (неуправляемых) факторов, прямых и обратных связей.

Мера риска, таким образом, может быть определена как некоторая векторная величина: .

На стадии качественной оценки риска инвестиционного проекта его факторы анализируют, классифицируя по разным признакам. К внешним факторам риска относятся: отношения с поставщиками и покупателями, конкуренция, законодательство, налоговая система, непредусмотренные действия государственного управления и местного самоуправления, экономическое состояние региона, международные экономическая и политическая ситуации, стихийные бедствия и т. п.

К внутренним факторам риска можно отнести те, которые связаны с неэффективным управлением предприятия, производственной деятельностью, ресурсами и их использованием и т. п.

Среди видов и типов инвестиционных рисков выделяют такие: кредитные риски; риски, которые возникают на первой стадии инвестиционного процесса; предпринимательские риски, связанные с реализацией проекта; риски страны и т. п.

Для учета неопределенности, неполноты информации и обусловленного этим риска в оценивании величины используется математическое ожидание случайных величин – прогнозируемых потоков средств , а риск учитывается лишь в оценивании ставки дисконта . Ставка дисконта включает в себя премию за риск. Премию за риск, как правило, считают постоянной величиной в течении периода реализации проекта. Такой подход имеет ряд недостатков:

1. риск инвестиционного проекта зависит от времени отведенного для каждого интервала планирования: подготовительного этапа, этапа реализации, этапа функционирования. Поэтому на каждом временном интервале, премия за риск должна корректироваться.

2. учитывать риск в виде премии – надбавки к безрисковой ставке дисконта, – охватив все факторы, очень сложно. В этом случае, соответствующие величины уместно трактовать как случайные.

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить