Самостоятельные и контрольные работы по экономике

Самостоятельная работа по дисциплине Эконометрия

Задание: по группе сельскохозяйственных предприятий имеются данные об урожайности винограда (y), затраты труда на 1ц, чел.-час.(x1) и уровне рентабельности,% (x2).

Исходные данные для проведения корреляционного анализа представлены в Таблице 1.1.

Таблица 1.1.- Урожайность винограда, затраты труда на 1ц и уровень рентабельности по группе сельскохозяйственных предприятий региона.

№ п/п

Затраты труда на 1 ц, чел.-час.

Уровень рентабельности, %

Урожайность винограда, ц/га

 

x1

X2

y

1

8.3

50.6

130.4

2

8.5

45.9

125.4

3

9.6

38.6

119.3

4

14.7

23.9

25.2

5

10.6

32

67.9

6

9.1

38

120.2

7

13.7

25.8

30.5

8

8.4

45.4

123.4

9

10.2

37.1

89.0

10

11.4

30.8

51.6

11

9

40.5

122.5

12

10.4

35

78.8

13

10

32.1

68.2

14

13

27.3

40.1

15

12.2

29

45.7

Итого:

159.1

532

1238.2

В среднем

10.6067

35.4667

82.5467

По исходным данным Таблицы 1.1. построим два корреляционных поля зависимости урожайности винограда от затрат труда на 1ц и уровня рентабельности.

Корреляционное поле зависимости урожайности винограда от затрат труда на 1ц.

Рисунок 1.1 – Корреляционное поле зависимости урожайности винограда от затрат труда на 1ц.

Корреляционное поле зависимости урожайности винограда от уровня рентабельности.

Рисунок 1.2 – Корреляционное поле зависимости урожайности винограда от уровня рентабельности.

1.2. Из расположения точек на графиках видно, что с увеличением затрат труда на 1ц, урожайность винограда снижается, то есть связь обратная положительная, а с увеличением уровня рентабельности урожайность возрастает – связь прямая положительная. Эти связи можно выразить уравнениями прямой линии:

1.3 Уравнение прямолинейной однофакторной регрессионной связи имеет неизвестные параметры и . Значения этих параметров определим методом наименьших квадратов, путем решения системы двух нормальных уравнений:

1.4. Для определения параметров и рассчитаем таблицу 1.2.

Таблица 1.2 – Исходные и расчетные данные для определения параметров уравнений зависимости урожайности

 

Затраты труда на 1ц, чел.-час.

Уровень рентабель-ности, %

Урожайность винограда, ц/га

Расчетные данные

Теоретические уровни урожайности винограда, ц/га

х1

х2

у

х1²

x1x2

yx1

x2²

yx2

ytx1

ytx2

1

8.3

50.6

130.4

68.9

419.98

1082.32

2560.36

6598.24

17004.16

124.4417

152.7106

2

8.5

45.9

125.4

72.25

390.15

1065.9

2106.81

5755.9

15725.16

120.8092

130.9200

3

9.6

38.6

119.3

92.16

370.56

1145.28

1489.96

4604.98

14232.49

100.8302

97.0750

4

14.7

23.9

25.2

216.1

351.33

370.44

571.21

602.3

635.04

8.2004

28.9214

5

10.6

32

67.9

112.4

339

719.74

1024

2172.8

4610.41

82.6675

66.4754

6

9.1

38

120.2

82.81

346

1093.82

1444

4567.6

14448.04

109.9115

94.2932

7

13.7

25.8

30.5

187.7

353

417.85

665.64

786.9

930.25

26.3631

37.7303

8

8.4

45.4

123.4

70.56

381.36

1036.56

2061.16

5602.4

15227.56

122.6254

128.6018

9

10.2

37.1

89.0

104.0

378.42

907.80

1376.41

3301.9

7921.00

89.9326

90.1205

10

11.4

30.8

51.6

130.0

351.12

588.24

948.64

1589.3

2662.56

68.1373

60.9118

11

9

40.5

122.5

81

364.5

1102.50

1640.25

4961.3

15006.25

111.7278

105.8840

12

10.4

35

78.8

108.2

364

819.52

1225

2758

6209.44

86.3000

80.3843

13

10

32.1

68.2

100.0

321

682

1030.41

2189.22

4651.24

93.5651

66.9390

14

13

27.3

40.1

169.0

355

521.3

745.29

1094.73

1608.01

39.0770

44.6848

15

12.2

29

45.7

148.8

354

557.54

841

1325.3

2088.49

53.6072

52.5665

итого

159.1

532

1238.2

1743.8

5439.58

12110.81

19730.14

47910.7

122960.1

1238.20

1238.2186

в среднем

10.6067

35.4667

82.5467

116.254

362.63867

807.3873

1315.343

3194.047

8197.34

82.5464

82.547907

Пользуясь приведенными в таблице 1.2 расчетами, подставим в нормальные уравнения соответствующие значения и определим параметры и в зависимости урожайности винограда от затрат труда на 1ц:

1238.2 =15b0+159.1b1

12110.81=159.1b0+1743.8b1

82.5467 =b0+10.6067b1

76.1207 =b0+10.9604b1

b0 =82.5467 - 10.6067b1

76.1207 =82.5467 - 10.6067b1+10.9604b1

b1=-18.1627

b0=275.1921

или:

Пользуясь приведенными в таблице 1.2 расчетами, подставим в нормальные уравнения соответствующие значения и определим параметры и в зависимости урожайности винограда от уровня рентабельности:

или:

При увеличении затрат труда на 1 чел.-час/ц. урожайность снижается на 18,16 ц./га, а при повышении уровня рентабельности на 1 % урожайность увеличится на 4,63 ц./га.

Подставляя из таблицы 1.1 значения и , определим теоретические уровни.

2. Рассчитаем линейные коэффициенты парной корреляции, средние ошибки аппроксимации и коэффициенты эластичности.

2.1. Тесноту связи изучаемой зависимости, то есть урожайности винограда от затрат труда на 1ц и уровня рентабельности, оценит линейный коэффициент парной корреляции:

Для дальнейших расчетов составим таблицы 1.3 и 1.4.

Таблица 1.3 – Матрица для оценок статистической значимости зависимости урожайности винограда от затрат труда на 1ц, его параметров и коэффициентов тесноты связи.

Скачать Таблицу 1.3 zip

Таблица 1.4 – Матрица для оценок статистической значимости зависимости урожайности винограда от уровня рентабельности, его параметров и коэффициентов тесноты связи.

Скачать Таблицу 1.4 zip

2.3. Определим средний коэффициент эластичности, показывающий, насколько процентов в среднем по совокупности изменится результат (урожайность винограда) от своей средней величины при изменении фактора на 1чел.-час./ц от своего среднего значения:

Средняя ошибка аппроксимации – это среднее отклонение расчетных значений от фактических значений:

Допустимый предел ошибки аппроксимации 8-10%.

Коэффициент детерминации:

Индекс корреляции:

Таким образом, вариация урожайности винограда на 95% объясняется вариацией затрат труда на 1ц и на 5% другими неучтенными факторами.

Следовательно, вариация урожайности винограда на 94% объясняется вариацией уровня рентабельности, а 6% - другими неучтенными факторами.

Для качественной оценки тесноты связи воспользуемся таблицей Четдоко.

Значение коэффициента тесноты связи

0,1-0,3

0,3-0,5

0,5-0,7

0,7-0,9

0,9-0,99

Характеристика тесноты связи

слабая

умеренная

заметная

высокая

очень высокая

Таким образом, теснота связи между урожайностью винограда и затратами труда, а так же уровнем ретабельности очень высокая. Качество построенных моделей между урожайностью винограда и затратами труда и уровнем ретабельности оценивается как заметная, поскольку средняя ошибка аппроксимации ниже 0,4-5% (0,4% и 3,6%). Средний коэффициент эластичности показывает, что увеличение затрат труда на 1чел.-час./ц приведет к снижению урожайности винограда на 4,42%, а при увеличении уровня рентабельности урожайность винограда возрастет на 2,23%.

Таким образом, в связях урожайности винограда, затрат труда на 1ц наблюдается прямолинейная связь, так как разность между индексами корреляции и парными коэффициентами тесноты связи в нашей эконометрической модели равна нулю.

3.Оценим значимость параметров регрессии и коэффициентов тесноты связи.

3.1. С помощью регрессионно-корреляционного анализа мы получаем оценки параметров парной линейной регрессии. Следующим этапом является проверка качества надежности, существенности и значимости как уровня в целом, так и отдельных его параметров.

3.2. Адекватность простой линейной регрессионной модели проверим с помощью коэффициентов детерминации, которые являются характеристиками прогностической силы анализируемой регрессионной модели, то есть, суммарной мерой общего качества уровня регрессии. В эконометрике имеются три равноценных определения коэффициентов детерминации.

1. Коэффициент детерминации равен квадрату эмпирического коэффициента корреляции между двумя рядами наблюдений. Определяется по формуле:

2.Коэффициент детерминации равен частному отделению суммы квадратов отклонений регрессанта, вычисляемого с помощью регрессии от его средней арифметической:

3. Определяется как единица – частное отделение суммы квадратов ошибок и суммы квадратов отклонения выборки от средней:

3.3. Оценка значимости уравнений регрессии в целом дается с помощью F-критерия Фишера, который показывает, в какой мере регрессия лучше оценивает значение зависимой переменной по сравнению с ее средней.

F-тест оценивания качества уравнения регрессии состоит в проверке нулевой гипотезы H0 по статистической незначительности уровня регрессии. Для этого выполняется сравнение F-факторного и критического F-табличного значений критерия Фишера. F-критерий факторный определяется из соотношения значений факторной и остаточной дисперсии, которые рассчитываются на одну степень свободы.

Поскольку 4,67 и как при 5%-м так и 1%-м уровнях значимости, то нулевая гипотеза говорит о незначительности отклонений и зависимость урожайности винограда от затрат труда на 1ц. в целом признается статистически значимой. Этот уровень является достаточным для обеспечения достоверности эконометрический расчетов и прогнозирования урожайности парной линейной зависимости.

Так как 4,67 и как при 5%-м так и 1%-м уровнях значимости, то нулевая гипотеза говорит о незначительности отклонений и зависимость урожайности винограда от уровня рентабльности в целом признается статистически значимой и допускается для дальнейших эконометрических расчетов и прогнозирования.

3.4. В парной линейной регрессии обычно оценивают значимость не только уровня в целом, но и отдельных его параметров. С этой целью по каждому из параметров определяется его ошибка, которая рассчитывается по формуле:

§ для зависимости урожайности винограда от затрат труда на 1 ц.

§ для зависимости урожайности винограда от уровня рентабельности

3.5. Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции рассчитаем Т-критерий Стьюдента и доверительные интервалы для параметров и . Оценка значимости коэффициентов регрессии и корреляции с помощью Т-критерия Стьюдента проводится путем сопоставления их значений с величиной случайной ошибки:

§ для зависимости урожайности винограда от затрат труда на 1ц

§ для зависимости урожайности винограда от уровня рентабельности.

Рассчитаем доверительные интервалы для параметров и в зависимости урожайности винограда от затрат труда на 1ц. Для этого определим предельную ошибку для каждого показателя:

Расчет доверительных интервалов имеет вид:

Критическое значение при уровнях значимости для числа степеней свободы равного 13 , а при . Фактическое значение Т-критерия Стьюдента превосходит табличные значения

За исключением tb1 и нулевая гипотеза отклоняется в пользу альтернативной при выбранном уровне значимости, то есть tb0, не случайно отличается от нуля и подтверждает их статистическую значимость.

Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов зависимости урожайности винограда от затрат труда на 1ц приводит к выводу о том, что с вероятностью 0,95 параметр находится в границах от 121,9721 до 428,4121, а параметр находится в пределах от -21,8925 до -14,4329. Тогда нулевая гипотеза отвергается в пользу альтернативной при выбранном уровне значимости , то есть является статистически незначимой и отличной от нуля. И только в 5-ти случаях из 100 значение урожайности может выйти за границы интервала.

Рассчитаем доверительные интервалы для параметров и в зависимости урожайности винограда от уровня рентабельности. Для этого определим предельную ошибку для каждого показателя:

Расчет доверительных интервалов имеет вид:

Критическое значение при уровнях значимости для числа степеней свободы равного 13 , а при . Фактическое значение Т-критерия Стьюдента превосходит табличные значения

За исключением tb0 нулевая гипотеза отклоняется в пользу альтернативной при выбранном уровне значимости, то есть tb1, не случайно отличается от нуля и подтверждает их статистическую значимость.

Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов зависимости урожайности винограда от уровня рентабельности приводит к выводу о том, что с вероятностью 0,95 параметр находится в границах от -214,1011 до

50,3287, а параметр находится в пределах от 3,6738 до 5,5988. Тогда нулевая гипотеза отвергается в пользу альтернативной при выбранном уровне значимости , то есть является статистически незначимой и отличной от нуля. И только в 5-ти случаях из 100 значение урожайности может выйти за границы интервала.

4. Выполним прогноз результативного показателя (урожайности винограда) при прогнозных значениях:

5. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительные интервалы для предсказания его среднего и индивидуального значений зависимой переменной (урожайности винограда) по исходным данным таблицы.

5.1. В прогнозных расчетах по уровню регрессии определяется предсказываемое значение как точечный прогноз при , то есть путем подстановки соответствующего уровня значений . Однако, точечный прогноз явно нереален, поэтому он дополняется расчетом стандартной ошибки и соответственно интервальной оценки прогнозируемого значения

Одной из центральных задач эконометрического моделирования является прогнозирование значений зависимой переменной при определенных значениях переменной.

5.1.1.Предсказание среднего значения:

рассчитаем стандартную среднюю ошибку прогноза условного математического ожидания имеющего следующий вид

Рассчитаем прогнозные значения урожайности винограда в зависимости от доли винограда в товарной продукции:

-стандартная ошибка для прогноза первой строки. Определим предельную ошибку прогноза, которая в 95% случаев не будет превышать и составит:

Прогноз линии регрессии в интервале составит

При , который представляет собой точечный прогноз, прогноз линии регрессии в интервале составит .

Следовательно, прогнозное значение урожайности винограда зависимой от доли винограда в товарной продукции с вероятностью будет находиться в пределах от 75,3207 до 89,7713 и не примет нулевых значений. То есть является статистически значимым и существенным и только в 5-ти случаях из 100 прогнозное значение выйдет за рамки интервала и будет статистически несущественным.

Прогноз линии в интервале составит

При , который представляет собой точечный прогноз, прогноз линии регрессии в интервале составит .

Следовательно, прогнозное значение урожайности винограда зависимой от доли винограда в товарной продукции с вероятностью будет находиться в пределах от 55,0445 до 71,5195 и не примет нулевых значений. То есть является статистически значимым и существенным и только в 5-ти случаях из 100 прогнозное значение выйдет за рамки интервала и будет статистически несущественным.

Прогноз линии в интервале составит

При , который представляет собой точечный прогноз, прогноз линии регрессии в интервале составит .

Следовательно, прогнозное значение урожайности винограда зависимой от доли винограда в товарной продукции с вероятностью будет находиться в пределах от 10,8583 до 38,6477 и не примет нулевых значений. То есть является статистически значимым и существенным и только в 5-ти случаях из 100 прогнозное значение выйдет за рамки интервала и будет статистически несущественным.

Рассчитаем прогнозные значения урожайности винограда в зависимости от среднемесячной оплаты труда:

-стандартная ошибка для прогноза первой строки. Определим предельную ошибку прогноза, которая в 95% случаев не будет превышать и составит

Прогноз линии регрессии в интервале составит

Следовательно, прогнозное значение урожайности винограда зависимой от среднемесячной оплаты труда с вероятностью будет находиться в пределах от 77,2518 до 89,844 и не примет нулевых значений, то есть является статистически значимым и существенным и только в 5-ти случаях из 100 прогнозное значение выйдет за рамки интервала и будет статистически несущественным.

Прогноз линии регрессии в интервале составит

Следовательно, прогнозное значение урожайности винограда зависимой от среднемесячной оплаты труда с вероятностью будет находиться в пределах от 90,9361 до 107,0465 и не примет нулевых значений, то есть является статистически значимым и существенным и только в 5-ти случаях из 100 прогнозное значение выйдет за рамки интервала и будет статистически несущественным.

Прогноз линии регрессии в интервале составит

Следовательно, прогнозное значение урожайности винограда зависимой от среднемесячной оплаты труда с вероятностью будет находиться в пределах от 119,3036 до 144,4526 и не примет нулевых значений, то есть является статистически значимым и существенным и только в 5-ти случаях из 100 прогнозное значение выйдет за рамки интервала и будет статистически несущественным.

5.2. Предсказание индивидуальных значений зависимой переменной и построение доверительных интервалов.

Для расчетов будем использовать формулу:

Рассчитаем индивидуальные прогнозные значения урожайности винограда в зависимости от затрат труда на 1ц:

Интервал, в котором будет находиться, по крайней мере, 95% индивидуальных значений урожайности при находится в пределах . Выполненный прогноз урожайности с вероятностью 0,95 оказался надежным, но неточным, так как диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала составил 1,5 раз.

Интервал, в котором будет находиться, по крайней мере, 95% индивидуальных значений урожайности при находится в пределах . Выполненный прогноз урожайности с вероятностью 0,95 оказался надежным, но неточным, так как диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала составил 2,7 раз.

Интервал, в котором будет находиться, по крайней мере, 95% индивидуальных значений урожайности при находится в пределах . Выполненный прогноз урожайности с вероятностью 0,95 оказался надежным, но неточным, так как диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала составил 8,6 раз.

Рассчитаем индивидуальные прогнозные значения урожайности винограда в зависимости от уровня рентабельности:

Интервал, в котором будет находиться, по крайней мере, 95% индивидуальных значений урожайности при находится в пределах . Выполненный прогноз урожайности с вероятностью 0,95 оказался надежным, но неточным, так как диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала составил 2,1 раз.

Интервал, в котором будет находиться, по крайней мере, 95% индивидуальных значений урожайности при находится в пределах . Выполненный прогноз урожайности с вероятностью 0,95 оказался надежным, но неточным, так как диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала составил 1,8 раз.

Интервал, в котором будет находиться, по крайней мере, 95% индивидуальных значений урожайности при находится в пределах . Выполненный прогноз урожайности с вероятностью 0,95 оказался надежным, но неточным, так как диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала состав1,6раз.

Множественная линейная регрессионно-корреляционная эконометрическая модель.

Линейное уравнение множественной регрессии y от x1 и x2 имеет вид:

Для расчета его параметров используем МНК. Для этого составим и решим систему нормальных уравнений относительно b0, b1 и b2.

b0=99.7782

b1=-9.5779

b2=2.3785

Полученное

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить