Статьи по вышке
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 0.00 (0 Голоса)

Системний підхід до побудови математичних моделей

1.7.1. Поняття системи

Знання про те, як поведе себе система в різних умовах, за різних форм впливів спеціалісти отримують шляхом імітування її поведінки на моделях. Моделі дозволяють відтворювати поведінку систем в дуже широкому діапазоні умов, що зміню­ються, включаючи й такі, які в реальній дійсності важко спос­терігати, або які поєднані з великими витратами та ризиком. В результаті ми можемо вивчати велике число варіантів розвитку системи та вибрати найкращий з точки зору постав­лених цілей.

Імітаційні моделі доволі складний програмний виріб. Тех­нологія їх проектування трудомісткий процес, що включає в себе методи та засоби, які забезпечують створення та розвиток. Великі розміри системи, складність поведінки її компонент, велика вартість розробки вимагають методів математичного моделювання на всіх етапах проектування такої системи. Тому моделювання супроводжує і процес проектування, і процес випробування, і процес експлуатації складної системи. Основними стандартними етапами створення та використання моделей є: укладання змістовного опису системи, розробка концептуальної моделі, формалізація та перетворення в описання моделі, програмування та відладка моделі, випробу­вання та вивчення властивостей моделі, планування іміта­ційних дослідів та експлуатація моделі.

Основним поняттям при побудові математичних моделей як на концептуальному, так і на формалізованому (мате­матичному) рівнях є поняття «системи». Системний підхід пронизує всі проблеми побудови більшості математичних мо­делей, а тому варто коротко зупинитись на цьому важливому понятті з точки зору математики, з точки зору знакової симво­ліки, яка дозволяє формалізувати як поняття системи, так і її складові елементи.

Під системою розуміють множину об'єктів разом з від­носинами (зв'язками) між цими об'єктами та їх атрибутами. Об'єкти — це окремі частини або компоненти системи, причому множина таких частин (компонент) може бути необ­меженою. Атрибути — це властивості об'єктів. Відносини (зв'язки) — це ті властивості системи, що її об'єднують в єдине ціле.

Якщо елементи, що утворюють деяку систему, позначити символами х1,х2,х3...,хп, де п — число елементів, то множину (вектор)

x={x1, x2, x3,…,xn}

природно назвати складом системи S.

Елементи x1, x2, x3,…,xn об'єднуються в ціле (систему) певними відносинами і зв'язками, які називають системоутво­рюючими. Всі ці елементи пов'язані між собою, вони зазна­ють впливу зовнішніх відносно системи S об'єктів. Наприклад, особини популяції взаємодіють не тільки одне з одною, але й з особинами інших популяцій при хижацтві, конкуренції тощо. Отже, міркуючи формально, визнаємо, що кожна система 5 впливає сама і зазнає впливу нескінченної множини інших систем Е1, Е2,...,Ек, Еk+1…. Якщо все ж таки вибрати певну міру інтенсивності взаємодії, то можна установити певне число зовнішніх систем V1 V2, V3,..., Vт, що взаємодіють з даною системою S. Множину V, що складається з зовнішніх систем, які знаходяться в істотних (в певному сенсі) зв'язках з даною системою S прийнято називати навколишнім середовищем і позначати наступним вектором:

V = {V1, V2, V3,...,Vт},

Множину відносин між елементами системи та елементами

системи і навколишнім середовищем називають структурою даної системи S і позначають:

∑ = {∑1, ∑2, ∑3,…, ∑l}

де l - число всіх зв'язків, що утворюють структуру системи S. Склад х, навколишнє середовище V і структура ∑ можуть змінюватися в часі, що записується таким чином:

x = x(t) = {x1(t), x2(t), x3(t),…, xn(t)},

V = {V1(t), V2(t), V3(t),…,Vm(t)},

∑ = {∑1(t), ∑2(t), ∑3(t),…, ∑l(t)}

Функцією системи S називається закон (сукупність правил)

F(t), за яким в залежності від зовнішніх факторів V(t) відбувається зміна в часі внутрішніх елементів х(t) і структури (t).

Виходячи з цього можна дати таке формалізоване визначення поняття системи:

Системою S(t), що функціонує в навколишньому середовищі V(t) називається множина об'єктів S(t) = S(х,V,∑,F), що утворена із сукупності внутрішніх елементів х(t), які зв'язані між собою і з навколишнім середовищем V(t) сукупністю зв'язків ∑(t), що змінюються в часі залежно від множини функцій F(t).

Таким чином, виходячи з основних положень теорії систем, бачимо, що системний підхід до вивчення будь-яких реальних систем полягає:

1) у визначенні складових частин х1, х2, х3,...,хп, і взаємопов’язаних з ними елементів (факторів) навколишнього середовища V1, V2, V3,...,Vт;

2) у вивченні структури внутрішніх зв'язків, а також зв'язків між елементами системи і зовнішніми чинниками;

3) у знаходженні законів функціонування екосистеми F = {F1, F2, F3,…, Fp}, що визначають характер зміни основних компонентів системи під дією зовнішніх об'єктів (елементів навколишнього середовища).

Для розв'язання цих трьох основних задач в сучасній агро­номії існує ряд методів дослідження, основні з яких: польові спостереження; проведення експериментів в натурних умовах; лабораторні дослідження; застосування математичного моде­лювання і проведення імітаційного експерименту. Саме остан­ні два методи розглядаються в курсі.

1.7.2. Властивості систем

Позначимо реальну природну систему, яку ми хочемо вивчити, через S0 = S0(х0,V0,∑0,F0). Тоді, виходячи з основних понять теорії систем, під математичною моделлю цієї реальної системи S0 будемо розуміти деяку її модель S = S(х,V,∑,F)у якої елементами множин х,V,∑,F виступають математичні символи, змінні і постійні величини, зокрема функції від часу t, на визначеному інтервалі t0 ttN, а саме:

Структура ∑ являє собою множину математичних залежнос­тей між компонентами множин х, V, які записуються у вигляді рівнянь або нерівностей:

Як відомо, ці залежності зв'язують між собою зовнішні і внутрішні змінні моделі, які описують характеристики (властивості) як компонентів даної системи, так і чинників довкілля.

Функція F = {f1, f2, f3,…,fпніщо інше, як розв'язувальний оператор, який за допомогою різного виду математичних залежностей по заданих входах v1(t), v2(t),...,vт(t) з деякою точністю

визначає функції x1, х2, х3,...,хп на визначеному інтервалі t0 ttN

 

які задовольняють рівнянням і нерівностям, що задані вище, та початковим умовам:

Кожна агрономічна система має багато рівнів ієрархії. Причому на кожному рівні можна виділити свої системи, а кожний елемент — це, в свою чергу, система нижчого рівня зі своєю структурою.

Однією і властивостей агрономічних систем є структурна та функціональна складність. Виявлення складності різноманітні та пов’язані з великою кількістю можливих станів. Стани таких систем включають стани елементів та стани по співвідношен­ню зв’язків між елементами. Із складністю пов'язана багатовимірність та багатозв’язність агрономічних систем, що проявляються у великій кількості різнорідних параметрів, різноманітності зв'язків між однорідними та різнорідними параметрами, що характеризують роботу досліджуваної системи.

Майже усім агрономічним системам властива динамічність взаємозв’язку з оточуючим середовищем. Оперативна динамічність проявляється в реакціях на зміни та впливи оточуючого середовища в той же момент часу. Динамічність проявляється також у структурно-функціональних змінах системи за рахунок спадковості та еволюції виду.

Для більшості агрономічних систем характерна також якісна неоднорідність, яка проявляється в тому, що в рамках однієї й тієї ж функціональної системи разом працюють підсистеми з якісно різними адекватними керуючими сигналами (хі­мічними, фізичними, інформативними). Часова неоднорідність агрономічних систем аналізу та керування проявляється в тому, що в одній функціональній системі взаємодіють у досяг­ненні одного й того ж результату підсистеми з різними сталими часу.

Ієрархічність агрономічних систем проявляється в поступо­вому ускладненні функції на одному рівні ієрархії та стрибко­подібному переході до якісно іншої функції на наступному рівні ієрархії. Ієрархічність проявляється також у специфіці побудови різних агрономічних систем аналізу та управління. Так, кінцева вихідна функція нижчою рівня ієрархії входить в якості елемента до вищого рівня.

Структурно-функціональна організованість проявляється на всіх ієрархічних рівнях агросистем та характеризується високою стійкістю біологічного виду, його форми. Структурно-функціональна стохастичність агросистем проявляється у багатофункційності, різноманітності реакцій на одні й ті ж впливи середовища.

Нестаціонарність агросистем виражається у зміні часового розподілу реакцій на одні й ті ж сигнали зовнішнього сере­довища або інших ієрархічних рівнів

Агрономічні системи характеризуються також властивос­тями структурної дискретності, яка виявляє наявність різних агросистем, та функціональної неперервності, що харак­теризується варіабельністю кількісних параметрів в межах однієї дискретності.

Говорячи про переваги методу математичного моделюван­ня, не можна не відзначити, що відсутність чітких уявлень про характеристики цих процесів часто підміняється переліком великої кількості експериментальних даних, а за теоретичне (модельне) описування видається підібраний емпіричний вираз без зазначення меж області його застосування. Такий напівемпіричний опис може не мати нічого спільного з реальним про­цесом, особливо в тій частині області застосування моделі, яка лежить поза границею адекватності, що й робить побудовану модель малоефективною. Ось чому тільки математична модель, яка описує суть процесу чи явища, розкриває закономірності їх (процесів) протікання і є адекватною в математичному описі окремих характеристик реальної системи. Вона дає в руки до­сліднику інструментарій, що дозволяє найбільш об'єктивно розв'язувати поставлені задачі і ухвалювати такі рішення, які не можуть викликати ніяких сумнівів у їх правильності. При всіх найжорсткіших вимогах до моделей не слід забувати, що побудована модель не може бути більш точною, чим та інфор­мація, що вводиться в модель і використовується при моделю­ванні.

Особливості математичного моделювання біологічних і еко­логічних систем полягають в тому, що в основі математичного моделювання процесів біологічного походження лежить уяв­лення про біологічні системи або екосистеми як такі, для яких справедливі основні закони фізики або хімії. Інакше кажучи, слід пам'ятати, що всі ті основні принципи і закони, у відпо­відності з якими протікають різні процеси в неживій природі, зберігають свою силу і для живої матерії. Будь-яка мате­матична модель повинна базуватися на відомих законах збере­ження речовини, енергії, кількості руху, на законах взаємодії мас, хімічних та радіоактивних перетворень та інших. Проте знання тільки цих законів недостатнє, тому що побудована тільки за цими законами модель буде досить загальною. Для побудови математичних моделей конкретних абіотичних і біотичних процесів, що відбуваються в природних системах, необхідно також знати взаємозалежності, що визначають потоки речовини і енергії як у систему, так і з системи залежно від стану окремих складових цієї системи та навколишнього середовища.

1.8. Постановка задачі математичного моделювання

Найбільш відповідальним моментом в математичному мо­делюванні є правильна постановка задачі, яка включає мету рішення (можлива наявність критерію оптимальності). В пос­тановці задачі слід чітко визначити, що є невідомим, які змінні величини та їх чисельні значення необхідно знайти в процесі рішення. Перелік змінних величин має відображати характер, основний зміст процесу, що моделюється. Наприклад, при мо­делюванні процесу асоціативної азотфіксації в якості змінних будуть кількість бульбашок, азотфіксуюча активність тощо. Розв'язуючи таку задачу на ЕОМ, можна визначити найкращі зовнішні умови для отримання найкращих значень параметрів.

Кількість змінних залежить від вибору часового відрізку (періоду), на якому діє модель. Чим коротший період, на якому створюється модель, тим більша деталізація змінних. Наприклад, при побудові моделі оптимізації виробничої струк­тури сільськогосподарського виробництва на визначений не­великий період доцільно як змінні вводити: по рослин­ництву — сільськогосподарські культури по видах — ячмінь, пшениця і т. д.; по тваринництву — по видах та статевовікових групах. При створенні моделі на великому проміжку часу — групою (зернові, технічні і т. д.). Кількість змінних залежить від деталізації (наприклад, багаторічні трави на сіно, силос, на­сіння, зелений корм). Важливо не допускати несумісності умов, що накладаються на можливі значення параметрів.

Наведемо невеликий приклад. Нехай п змінних стану x1, х2, х3,...,хп визначають систему в момент часу t. Часто дина­мічна детермінована модель застосовує диференціальні рівнян­ня першого порядку, які описують поведінку змінних стану в часі, причому кількість рівнянь має бути рівною числу неві­домих:

де Р — параметри, причому функції fi,i = , не обов'язково повинні вміщувати всі змінні стану х1,х2,х3,...,хп.

Так, наприклад, модель росту листя, крім площі поверхні S та маси сирої речовини, вміщує такі змінні стану як: вміст са­харози Sи та крохмалю St. Диференціальне рівняння для вмісту сахарози має вигляд:

де k, С,r — параметри; Рg — інтенсивність фотосинтезу в листі.

Величина Рg визначається освітленістю навколишнього се­редовища, в залежності від моделі вона може бути сталою або керуючою змінною. Другий член рівняння означає перетворен­ня крохмалю в сахарозу, а останній — виведення сахарози з листя.

Звичайно кожне з диференціальних рівнянь вміщує тільки кілька змінних стану, параметрів та характеристик навколишнього середовища. Якщо становить інтерес реакція росту листя на зміну температури, то в останнє рівняння можна ввести параметр розкладання крохмалю k та предс­тавити його залежним від температури, застосовуючи, якщо можна, рівняння Ареніуса.

Кожна функція fi в правій частині системи рівнянь у загаль­ному випадку вміщує кілька членів, кожний з яких є процесом, що проходить зі своєю швидкістю. Це ілюструється останнім рівнянням, де присутні три процеси: фотосинтез, розклад та переміщення (миттєву швидкість кожного з процесів завжди можна обчислити за значеннями змінних стану, параметрів та характеристик довкілля).

В системі рівнянь змінна часу t в правій частині ніде не фігурує в явному вигляді, не рахуючи її можливої присутності в керуючій функції V. Якщо виключити останнє, то наявність часової змінної t в правій частині рівнянь, що задають модель, є часто результатом прийому, який може привести до нових труднощів, і тому його необхідно по можливості уникати. Тобто, застосування змінної часу в явному вигляді іноді накла­дає на динаміку системи такі зовнішні обмеження, які, може статися, є неможливими. Іноді в цьому випадку вводять додат­кові змінні стану. Наприклад, рівняння росту Гомпертца може бути записано у вигляді:

при t=0,

де W — маса сухої речовини, μ0, D — параметри, W0 — почат­кове значення маси сухої речовини.

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить

По темам:

Google