Прикладная математика
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 0.00 (0 Голоса)

Процесс гибели и размножения

3.1 Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний, .

Предположим, что марковская цепь с непрерывным временем определяется двумя типами событий, рождением и гибелью. Рождение – это событие, которое приводит к росту популяции (система из состояния переходит в состояние ), гибель – это событие, которое приводит к уменьшению популяции (система из состояния переходит в состояние ). Размеченный граф состояний системы, соответствующий процессу гибели и размножения, показан на рис. 3.1.

Граф системы, описываемой процессом гибели и размножения.

Рис. 3.1. Граф системы, описываемой процессом гибели и размножения.

Опишем события рождение и гибелью более подробно [15]. Предварительно введем обозначения:

, если ,

, , , (3.1)

,.

1. Рождение. Если размер популяции в момент равен , то вероятность того, что на интервале появится одно рождение (т. е. вероятность перехода системы из состояния в состояние ) равна и что появится более одного рождения – . Рождения, появляющиеся на интервале , не зависят от времени появления последнего события.

2. Гибель. Если размер популяции в момент равен , то вероятность того, что на интервале появится одна гибель (т. е. вероятность перехода системы из состояния в состояние ) равна и что появится более одной гибели – . Гибели, появляющиеся на интервале , не зависят от времени появления последнего события.

3. Если размер популяции в момент равен нулю (равен ), то вероятность появления гибели (рождения) в интервале равна нулю.

4. Для любого размера популяции рождения и гибели происходят независимо друг от друга.

Пусть – размер популяции (состояние системы) в момент . Определим

, . (3.2)

и введем события:

{за время система из состояния переходит в состояние, т. е. на промежутке происходит «одно рождение»},

{за время система из состояния переходит в состояние, т. е. на промежутке происходит «одна гибель»}.

Очевидно, что , , . Тогда, в силу постулатов 1-4 и независимости событий , , можем записать:

,

(3.3)

,

.

В переходных вероятностях (3.3) параметры , используются как параметры рождения и гибели для популяции, имеющей размер , при этом не уточняется, как именно эти параметры зависят от размера популяции.

Определение 3.1. Процесс , описываемый соотношениями (3.1) – (3.3), называется обобщенным процессом гибели и размножения.

Общий метод получения одномерного распределения процесса , т. е. вероятностей

, (3.4)

основан на использовании для процесса гибели и размножения уравнений Колмогорова-Чепмена

, . (3.5)

Введем события {В момент система находится в состоянии }, . Положим . Тогда для переходов, появляющихся на непересекающихся интервалах времени и и основанных на вероятностях (3.3), уравнения (3.5) с учетом обозначения (3.4) принимают вид:

(3.6)

, .

Перенося в левую часть, деля все выражение (3.6) на и переходя к пределу при , получаем систему дифференциальных уравнений

, . (3.7)

Это и есть система прямых уравнений Колмогорова для процесса гибели и размножения при начальных условиях , .

Решение однородной системы дифференциальных уравнений (3.7) имеет сложную форму и может быть получено следующим образом. Запишем систему (3.7) в матричном виде (матричное уравнение Колмогорова)

, (3.8)

где – вектор начальных условий и

= .

Формально решение задачи Коши (3.8) можно определить как:

. (3.9)

т. е. матрица является резольвентой, или нормированной фундаментальной матрицей этой задачи Коши. Так как – матрица конечного порядка, то ряд (3.9) сходится, и его сумма – это единственное решение системы уравнений (3.7). Поскольку матрица якобиева (трехдиагональная) и для всех , то все характеристические числа матрицы являются вещественными и простыми [7]. Следовательно, можно представить в виде , где – диагональная матрица с различными характеристическими числами на главной диагонали,

.

Тогда

(3.10)

,

где – диагональная матрица. В следующем разделе мы рассмотрим некоторые частные случаи матрицы .

3.2 Примеры

Рассмотрим два примера, в каждом из которых предполагаем, что (в нулевой момент времени система находится в состоянии ). Решение в обоих случаях не зависит от состояния системы в начальный момент времени и представляется вектором вероятностей состояний , .

Пример 3.1. Процесс Юла [15]. Положим , (рождаемость и гибель в популяции возрастают линейно в зависимости от размера популяции). Матрица системы в этом случае имеет вид

=.

Можно показать [1], что для процесса Юла

, (3.11)

, , (3.12)

где

.

Вероятности образуют геометрическое распределение с модифицированным начальным членом.

В задаче Юла уместно исследовать вопрос, выродится ли когда-либо популяция? Поведение вероятности дает ключ для ответа на этот вопрос. Обозначим

. (3.13)

Согласно (3.11) находим

(3.14)

что согласуется с интуитивным представлением о том, что если скорость гибели больше скорости рождаемости, то популяция вырождается.

Пример 3.2. Процесс Эрланга [9]. Положим , . Эта ситуация соответствует системе массового обслуживания (СМО), состоящей из каналов обслуживания. Входящий поток требований – пуассоновский с параметром . Время обслуживания одно и тоже на каждой линии и распределено по экспоненциальному закону с параметром . Случайный процесс – число занятых линий (число требований, находящихся в системе) в момент времени . Получаемая в этом случае система уравнений (3.7) носит название системы Эрланга и также может быть решена известными методами.

3.3 Предельные вероятности состояний, .

Так как при , правые части системы уравнений (3.7) стремятся к определенным пределам, то и левые их части должны иметь предел. Этот предел равен нулю, так как в противном случае, если какая-либо производная стремится к числу отличному от нуля, то соответствующая вероятность неограниченно возрастает по абсолютной величине при , что невозможно.

Пусть – предельные вероятности состояний . Тогда (3.7) запишется в виде:

, . (3.15)

Запишем два первых равенства (3.15):

,

.

В силу первого равенства второе может быть переписано в виде . Очевидно, это рассуждение может быть продолжено. В результате система (3.15) переписывается в виде:

, (3.16)

Будем решать эту систему следующим образом. Из первого уравнения (3.16) находим . Из второго уравнения с учетом предыдущего получим и т. д. Окончательное решение имеет вид:

, . (3.17)

Структура выражения (3.17) следующая: в числителе стоят интенсивности , характеризующие движение по графу системы слева направо от до ; в знаменателе стоят интенсивности , характеризующие движение справа налево от до .

Подставляя все вероятности (3.17) в условие нормировки , находим :

. (3.18)

Соотношения (3.17), (3.18) дают окончательные выражения для предельных вероятностей в процессе гибели и размножения.

Пусть , , , , , . Согласно (3.18) получаем

.

Далее согласно (3.17) находим:

, , .

Пример 3.3. Простой процесс гибели и размножения [15]. Положим , . В этом случае согласно (3.17), (3.18) имеем:

, (3.19)

,. (3.20)

В частности, если и , то

, ,. (3.21)

Замечание 3.1. Данный пример описывает одноканальную систему массового обслуживания с ожиданием (, где – длина очереди).

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить

По темам:

Google