Прикладная математика
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 0.00 (0 Голоса)

Случайные процессы

1.1. Основные определения.

Пусть заданы полное вероятностное пространство и произвольное множество вида или . Параметр далее будем называть соответственно дискретным или непрерывным временем. Рассмотрим измеримое отображение , индуцирующее вероятностное пространство , где -алгебра борелевских множеств из , – вероятность, заданная на . При фиксированном значении элементарного исхода отображение является неслучайной функцией времени и, наоборот, при фиксированном значении времени отображение является случайной величиной . Таким образом, отображение можно рассматривать как индексированное множество случайных величин .

Определение 1.1. Отображение , (будем также использовать обозначение) называется случайным процессом. Функция называется траекторией, или реализацией случайного процесса . Совокупность всех траекторий процесса образует выборочное пространство , где , для таких, что .

Зафиксируем совокупность точек , , и рассмотрим семейство функций распределения:

, (1.1)

(1.2)

и т. д.

Определение 1.2. Функция распределения:

, , (1.3)

называется мерным распределением случайного процесса Совокупность всех –мерных распределений (1.3) образует семейство конечномерных распределений случайного процесса

Замечание 1.1. Если и любых функция распределения распадается в произведение одномерных функций распределений, то из этого следует независимость соответствующих случайных величин . Этот тривиальный случай в дальнейшем не рассматривается.

Основополагающую роль при изучении случайных процессов играет следующая теорема, принадлежащая Колмогорову.

Теорема 1.1. [6]. Пусть – случайный процесс, семейство его конечномерных распределений. Тогда:

(1) Семейство конечномерных распределений случайного процесса однозначно определяет вероятностную меру , заданную на выборочном пространстве этого случайного процесса.

(2) Некоторое семейство конечномерных распределений определяет некоторый случайный процесс тогда и только тогда, когда это семейство удовлетворяет условиям симметрии и согласованности:

(а) условие симметрии: для любых перестановок индексов выполняется равенство:

.

(b) условие согласованности:

.

1.2 Классификация случайных процессов.

Пусть пространство параметров состоит из изолированных точек, . В этом случае полагаем , и т. д. и записываем процесс в виде .

Определение 1.3. Если состоит из счетного числа изолированных точек, то соответствующий случайный процесс называют временным рядом, или случайным процессом с дискретным временем. Если множество интервал из , скажем, , то соответствующий процесс называют случайным процессом с непрерывным временем.

Определение 1.4. Совокупность всех возможных значений случайного процесса называется его пространством состояний, или фазовым пространством. Если семейство дискретных (непрерывных) случайных величин, то называется дискретным (непрерывным) случайным процессом.

Замечание 1.2. Используя термин состояние системы, мы предполагаем, что некоторая система, описываемая процессом , находится в момент в состоянии .

С точки зрения природы пространств и возможны четыре типа случайных процессов. Соответствующая классификация процессов представлена в таблице 1.1.

Таблица 1.1. Классификация случайных процессов

 

Пространство 

Дискретное

Непрерывное

Пространство 

Дискретное

I

II

Непрерывное

III

IV

1.3 Пуассоновский процесс.

Простой и важный класс процессов с образуют потоки случайных событий. В различных приложениях мы сталкиваемся с событиями, которые происходят во времени последовательно, но, так или иначе, случайным образом. Обозначим – вероятность того, что на произойдет событий. Пусть для некоторого случайного процесса выполнены следующие условия:

1. Стационарность. Вероятность числа событий на интервале зависит только от и и не зависит от положения интервала на временной оси.

2. Отсутствие последствия. Число событий, происходящих на непересекающихся интервалах времени суть независимые случайные величины.

3. Ординарность. Вероятность того, что в малом интервале времени произойдет более одного события, есть величина бесконечно малая порядка при .

Определение 1.5. Поток событий , удовлетворяющий условиям 1-3, называется пуассоновским, или простейшим.

Очевидно, пуассоновский процесс является дискретным процессом с непрерывным временем (тип II).

Теорема 1.2 [5, 15]. Простейший поток событий описывается одномерным распределением

, . (1.4)

Параметр называется интенсивностью пуассоновского потока событий.

Теорема 1.3 [5, 15]. Пусть (, ) – моменты появления пуассоновских событий. Тогда случайные величины независимы в совокупности и распределены по экспоненциальному закону, т. е.

. (1.5)

Доказательство. Обозначим – промежуток времени между любыми двумя последовательными событиями на интервале . Введем события: – на промежутке произошло более одного события, – на интервале произошло хотя бы одно событие. Очевидно, что . Отсюда согласно (1.4) следует (1.5), что и требовалось доказать.

Все траектории пуассоновского процесса имеют вид, представленный на рис.1.1. Величина каждой ступеньки равна единице, между появлениями событий значение траектории остается постоянным, т. е. является чисто разрывной функцией.

Траектория пуассоновского процесса.

Рис.1.1. Траектория пуассоновского процесса.

1.4 Марковские процессы.

Несмотря на то, что полная информация о каждом случайном процессе содержится в его функциях распределения , на практике более удобно задавать соответствующую информацию о процессе с помощью переходных функций распределения. Они представляют собой условные функции распределения процесса и содержат информацию о поведении случайного процесса до рассматриваемого момента времени .

Определение 1.6. Переходной функцией распределения процесса называется функция

, . (1.6)

Определение 1.7. Случайный процесс называется однородным, если его переходная функция распределения (1.6) зависит только от разности , а не от отдельных значений и т. е.

. (1.7)

Далее соотношение (1.7) для краткости записываем в виде

. (1.8)

Рассмотрим множество точек таких, что . Пусть – процесс с дискретным пространством состояний , относительно которого известно, что

(1.9)

.

Определение 1.8. Соотношение (1.9) определяет марковское свойство случайного процесса . Случайный процесс, обладающий этим свойством, называется марковским. Марковский процесс c дикретным пространством состояний и дискретным (непрерывным) временем называется марковской цепью с дискретным (непрерывным) временем.

В силу марковского свойства, если известно состояние процесса в момент времени , то этой информации достаточно чтобы предсказать поведение процесса в последующие моменты времени. Из (1.9) вытекает следующее свойство марковских процессов:

, . (1.10)

Замечание 1.3. Соотношение (1.10) можно записать в развернутом виде как

.

Пусть марковская цепь, т. е. марковский процесс с дискретным множеством состояний. Тогда последнее выражение может быть записано как: , где , , , , т. е. является полным аналогом формулы полной вероятности. Уравнение (10) называется уравнением Колмогорова-Чепмена. Оно является основным при изучении марковских процессов.

Пусть – дискретное пространство состояний процесса , , , – вероятность того, что система, находящаяся в момент времени в состоянии , перейдет через время в состояние , т. е. :

, .

Тогда для дискретного случая соотношение (10) можно записать в виде

. (1.11)

Обозначим – вероятность того, что система в момент времени находится в состоянии . Тогда вероятность застать систему в момент времени в состоянии согласно формуле полной вероятности равна

. (1.12)

Умножив обе части (1.11) на и просуммировав по , с учетом (1.12) получим

. (1.13)

Пусть – цепь Маркова с дискретным временем (процесс типа I). Для обозначим . Тогда согласно (1.11) для получаем

, . (1.14)

(соотношение (1.14):).

Уравнения (1.11), (1.14) являются частными представлениями уравнений Колмогорова-Чепмена (1.10). Их обычно называют уравнениями Маркова.

Определение 1.9. Положим . Матрица называется (одношаговой) матрицей переходных вероятностей однородной цепи Маркова.

Матрица полностью определяет все свойства однородной конечной цепи Маркова [14]. Пусть , , и, по определению, . Вероятность пребывания системы в начальный момент времени в состоянии равна , , – вектор начальных состояний.

Теорема 1.4 [15, теорема 4.2.1].

1. Пусть матрица переходных вероятностей конечной цепи Маркова. Тогда .

2. Если вектор состояний системы через шагов, то .

Доказательство теоремы проводится методом математической индукции [3].

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить

Google