Прикладная математика
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 0.00 (0 Голоса)

Одноканальная система массового обслуживания

5.1. Система с отказами.

Рассмотрим одноканальную СМО, на вход которой поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью , т. е.

. (5.1)

Обслуживание заявки продолжается в течение случайного промежутка времени, имеющего экспоненциальное распределение с параметром . Это означает, что если – количество заявок, обслуживание которых закончилось к моменту времени t, и они покинули систему, то – пуассоновский процесс с плотностью распределения

(5.2)

Прибытие и уход заявок из системы в промежутке происходят независимо от развития процесса в промежутке . Таким образом, если – число заявок, находящихся в системе в момент времени , то – марковский процесс.

Рассмотрим случай , т. е. систему, пространство состояний которой содержит два элемента: – канал обслуживания свободен, – канал занят. Из состояния в состояние систему переводит поток заявок , из состояния в состояние – поток заявок .

Обозначим , – вероятности пребывания системы в состояниях и соответственно. Очевидно, что для всех имеем . Составим систему прямых дифференциальных уравнений Колмогорова для этой системы:

(5.3)

Одно из уравнений (5.3) является лишним (в силу условия нормировки). Отбросив второе уравнение и подставив в первое , получим

. (5.4)

Это уравнение будем решать при начальном условии , т. е.

, .

Отметим, что, в общем случае, равнение (5.4) может быть решено для интенсивности , зависящей от времени. Пусть положительная константа. Тогда (см. рис. 5.1)

. (5.5)

Вероятность  пребывания системы в состоянии .

Рис. 5.1. Вероятность пребывания системы в состоянии .

Для получаем из (5.5)

(5.6)

Так как – вероятность того, что в момент канал свободен, то очевидно, что

, . (5.7)

Вероятности и можно интерпретировать как доли обслуженных и не обслуженных к моменту заявок соответственно.

Определение 5.1. Коэффициент называется загрузкой системы.

Из (5.5), (5.6) получаем

, (5.8)

. (5.9)

5.2. Система с ожиданием. Неустановившийся режим

Пусть , , т. е. рассматривается система с бесконечной очередью. Уравнения Колмогорова принимают вид

,

, . (5.10)

Найдем решение (5.10) в явном виде [1]. Обозначим

;

– распределение вероятностей с. в. . Введем события , . Тогда, в силу независимости процессов и , а значит и событий и для всех , имеем

(5.11)

,

где

(5.12)

– обобщенная функция Бесселя мнимого аргумента. Так как , то

. (5.13)

Положим

. (5.14)

Теорема 5.1. [10]. Пусть . Тогда для системы с ожиданием имеет место соотношение

. (5.15)

При выражение (5.15) упрощается и принимает вид

, (5.16)

где

. (5.17)

Из теоремы 5.1 с учетом равенства (5.13) вытекает

Теорема 5.2 [10]. Пусть , где и входящий и выходящий потоки заявок в системе с ожиданием. Тогда

. (5.18)

Условие (5.18) показывает, что за конечный промежуток времени обслуживания невозможно образование чрезмерно большой очереди.

5.3. Система с ожиданием. Установившийся режим.

Получим выражения для , исходя из выражений (5.15). На основании свойства

,

находим, что

,

Следовательно, при можем записать

,

а при :

.

Отсюда видим, что при для всех :

.

Подставляя асимптотические выражения для и в (5.15) и (5.16) получаем:

Таким образом, независимо от начального состояния системы, очередь за достаточно большое время становится при сколь угодно большой. При распределение длины очереди стремится к геометрическому,

, (5.19)

Теперь выведем формулу (5.19), исходя из рассмотренной схемы гибели и размножения, при этом будем предполагать, что , т. е. длина очереди ограничена (см. рис. 5.2):

Размеченный граф системы  с ограниченной очередью.

Рис. 5.2. Размеченный граф системы с ограниченной очередью.

Воспользуемся выражениями (3.19), (3.20) для при :

, (5.20)

, . (5.21)

Отсюда находим

, (5.22)

, . (5.23)

Пусть (длина очереди неограничена). Тогда из (5.22) следует, что при и, следовательно,

, (5.24)

Последнее выражение, как и следовало ожидать, совпадает с (5.19).

5.4. Характеристики системы с ожиданием в установившемся режиме.

Используя (5.22), (5.23), определим некоторые характеристики СМО с ожиданием в установившемся режиме при (ограниченная очередь).

1. Вероятность отказа в обслуживании:

2. Вероятность обслуживания (относительная пропускная способность СМО):

.

3. Средняя длина очереди:

(5.25)

.

4. Среднее число занятых каналов:

. (5.26)

5. Среднее число заявок в системе:

(5.27)

При вычислении суммы в (5.27) используем [11]. Выражения (5.25), (5.27) совпадают соответственно с (5.11) и (5.12) в [1].

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить

По темам:

Google