Прикладная математика
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 0.00 (0 Голоса)

Некоторые классы случайных процессов

Всякий случайный процесс является функцией из в . Поэтому для случайных процессов можно рассматривать те же вопросы и изучать их теми же методами, что и в функциональном анализе. Основное отличие здесь состоит в том, что в теории случайных процессов нет фиксированного понятия сходимости, а, следовательно, и вытекающих из него понятий непрерывности, производной и т. д. Из всех пространств случайных величин основным для нас будет гильбертово пространство , т. е. пространство с. в. с конечным вторым моментом. Последнее означает, что если , , то скалярное произведение в определено как . Если – пространство комплекснозначных с. в., то полагаем . Всюду далее предполагаем, что , .

7.1. Моментные характеристики случайных процессов

Определение 7.1. Начальным моментом -го порядка процесса называется функция

, (7.1)

Математическим ожиданием (средним) и дисперсией сл. п. называются соответственно функции

, . (7.2)

Ковариационной функцией с. п. называется функция

. (7.3)

Корреляционной функцией сл. п. называется функция

. (7.4)

Для среднего, дисперсии и ковариационной функции будем также использовать обозначения , и соответственно. Очевидно, что . Индекс в часто будем опускать. Будем также обозначать . Если , то .

Свойства ковариационной функции.

1.

Неотрицательная определенность:

:.

(7.5)

2.

Неравенство Коши-Буняковского:

.

(7.6)

3.

Самосопряженность:

.

(7.7)

Определение 7.2. Взаимной ковариационной функцией процессов и называется функция

(7.8)

.

Совместной ковариационной функцией процессов и называется матричная функция

. (7.9)

Определение 7.3. Случайные процессы и называются независимыми, если для любых целых ,

 

(7.10)

Если процессы и независимы, то их взаимная ковариационная функция равна нулю,

. (7.11)

Определение 7.4. Процессы и , для которых выполняется условие (7.11), называются некоррелированными.

Очевидно, из условия независимости процессов следует их некоррелированность. Обратное, в общем случае, неверно.

7.2. Процессы восстановления

Пусть – число событий, появляющихся на интервале времени . Рассматривая появление события как результат некоторого эксперимента, определим семейство с. в. , т. е. случайный процесс, заданный на выборочном пространстве этого эксперимента.

Определение 7.5. Случайный процесс , , называется считающим, если его траектория есть неубывающая ступенчатая функция с высотой ступенек, равной единице.

Определение 7.6. Пусть , , ..., ,... – моменты появления событий, описываемых процессом . Считающий процесс называется процессом восстановления, если с. в. , являются независимыми одинаково распределенными (н. о.р.) с. в.

Таким образом, процесс восстановления – это такой процесс, который восстанавливает сам себя в точках , т. е. это число восстановлений за время . Поэтому, если мы можем установить точки восстановления случайного процесса, то изучение такого процесса сильно упрощается. В этом случае нам требуется только тот объем информации, который содержится в части процесса, следующей за последней точкой восстановления.

7.3. Процессы с некоррелированными и независимыми приращениями

Определение 7.7. Случайный процесс называется процессом с некоррелированными (независимыми) приращениями, если его приращения и на непересекающихся интервалах времени и , (т. е. ) некоррелированы (независимы).

Теорема 7.1 [4]. Для того, чтобы процесс был процессом с некоррелированными приращениями, необходимо и достаточно, чтобы его ковариационная функция определялась выражением

, (7.12)

где – дисперсия процесса .

Процесс с независимыми приращениями может не быть процессом с некоррелированными приращениями, а процесс с некоррелированными приращениями может не быть процессом с независимыми приращениями [4]. Если процесс с независимыми приращениями имеет конечный момент второго порядка, то он является процессом с некоррелированными приращениями и, следовательно, его ковариационная функция определяется выражением (7.12).

Теорема 7.2 [4]. Любой процесс с независимыми приращениями является марковским.

7.4. Примеры случайных процессов.

Процесс Бернулли [4]. Это процесс с дискретными пространствами параметров и состояний. Рассмотрим серию независимых повторяющихся испытаний с двумя исходами. Назовем эти исходы как успех и неуспех (наличие требования или отсутствие его). Пусть и – соответственно вероятности появления успеха или неуспеха в каждом испытании. Обозначим – количество успехов в испытаниях. Ясно что – случайный процесс с пространством состояний , одномерное распределение вероятностей которого для данного определяется как

, . (7.13)

Определение 7.8. Процесс , определяемый согласно (7.13), называется процессом Бернулли.

Рассмотренные ранее потоки событий являются неограниченными в том смысле, что в любом конечном промежутке времени с положительной вероятностью может появиться сколь угодно большое число заявок. Процесс Бернулли таким свойством не обладает.

Число испытаний , необходимое для получения -го успеха после того, как уже наблюдалось успехов, имеет геометрическое распределение ( – длина дискретного интервала времени между двумя последовательными успехами):

, (7.14)

Случайные величины независимы и одинаково распределены. Поэтому процесс Бернулли – это процесс восстановления с дискретным временем. Кроме того, процесс Бернулли является процессом с независимыми приращениями. Отсюда и из теоремы 7.2 следует, что он является марковским.

Моментные характеристики процесса Бернулли имеют вид:

, , . (7.15)

Замечание 7.1. Можно также рассмотреть процесс Бернулли с непрерывным временем [4]. Пусть – вероятность появления из возможных успехов в промежутке . Вероятность появления одного успеха в положим равной . Считая, что успехи появляются независимо друг от друга, аналогично (7.13) получаем

, .

Пуассоновский процесс. Это процесс с дискретным пространством состояний и непрерывным временем . Одномерное распределение процесса имеет вид

, . (7.16)

Согласно теореме 7.3 промежутки времени между двумя последовательными появлениями событиями в пуассоновском процессе суть н. о.р. с. в. с плотностью , . Поэтому пуассоновский процесс также является процессом восстановления и, кроме того, в силу независимости приращений, обладает марковским свойством. Его моментные характеристики имеют вид:

, , . (7.17)

Гауссовский процесс [4]. Это процесс с непрерывными пространством состояний и пространством параметров . Рассмотрим действительный случайный процесс , , любые конечномерные распределения которого являются гауссовскими, т. е. при любых ,,..., совместное распределение с. в. , ,..., имеет вид:

,

где , – матрица, обратная к . Таким образом,

, . (7.18)

Винеровский процесс [15]. Рассмотрим процесс с непрерывными пространством состояний и временем и следующими свойствами:

I. Процесс имеет стационарные независимые приращения, т. е.

· распределения с. в. и совпадают;

· для любых непересекающихся интервалов времени и с с. в. и независимы.

II. Для любого заданного интервала с. в. нормально распределена со средним и дисперсией . Величина называется коэффициентом сноса (дрейфа) процесса .

Определение 8. Случайный процесс , удовлетворяющий свойствам I-II, называется винеровским, т. е. винеровский процесс – это однородный гауссовский процесс с независимыми приращениями, для которого и

, . (7.19)

Винеровский процесс служит математической моделью одномерного броуновского движения и часто называется процессом броуновского движения. В случае , винеровский процесс называют стандартным. Винеровский процесс имеет несколько эквивалентных определений, отражающих его свойства. В дополнение к определению 7.8, приведем еще два.

Определение 7.9. Гауссовский случайный процесс , , с нулевым средним и ковариационной функцией

(7.20)

называется стандартным винеровским процессом.

Определение 7.10 [15]. Однородный марковский процесс , , , у которого плотность переходной вероятности

(7.21)

есть фундаментальное решение параболического дифференциального уравнения (уравнения теплопроводности)

и задается формулой

,

называется винеровским процессом.

В заключение рассмотрим пример вычисления ковариационной функции случайного процесса, не принадлежащего ни одному из перечисленных выше классов.

Пример 7.1. Пусть пуассоновский процесс, определяемый согласно (7.16), и . Траектория процесса показана на рис. 7.1.

Траектория процесса

Рис. 7.1. Траектория процесса .

Пространство состояний процесса имеет вид . Введем события , . Тогда , – одномерное распределение процесса . Аналогично, , – двумерное распределение процесса . События и означают, что на промежутке произошли четное или нечетное число пуассоновских событий соответственно. Сначала найдем :

.

Аналогично находим . Таким образом, окончательно получаем

, .

Полагая , с учетом независимости событий и на непересекающихся интервалах времени () получаем

,

,

,

.

Теперь находим среднее и ковариационную функцию:

, . (7.22)

В частности, получаем, что – монотонно возрастающая функция времени.

Пример 7.2. Случайный процесс принимает значения +1, –1 с равными вероятностями , а вероятность независимых перемен знака определяется пуассоновским распределением (см. пример 7.1). Тогда

,

. (7.23)

Кроме того, – величина, не зависящая от времени.

Результаты (7.22), (7.23) примеров 7.1 и 7.2 показывают, что рассмотренные случайные процессы не относятся к числу процессов с независимыми приращениями. С другой стороны, между ними есть нечто общее, а именно: при моментные характеристики первого процесса приближаются к соответствующим характеристикам второго процесса. Кроме того, видим, что в примере 7.2 среднее процесса не зависит от времени, а ковариационная функция зависит не от отдельных значений времени и , а от их разности . Случайные процессы с такими свойствами (они называются стационарными в широком смысле) представляют большой интерес для приложений.

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить

Google