Прикладная математика
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 0.00 (0 Голоса)

Теория массового обслуживания

4.1. Структура систем массового обслуживания

Любая система массового обслуживания (СМО) характеризуется структурой, которая включает в себя следующие элементы:

1. Входящий поток требований, или заявок, на обслуживание. Этот элемент СМО является основным, и изучение входящего потока требований необходимо при организации любой системы массового обслуживания. Входящий поток требований – это некоторый случайный процесс с дискретным пространством состояний и непрерывным временем .

2. Очередь. В тех случаях, когда поступающие в СМО требования не могут быть удовлетворены немедленно, возникает очередь. Если на обслуживание поступает каждое поступившее требование, то соответствующая СМО называется системой с ожиданием (с очередью). В противном случае мы имеем систему с отказами. В случае системы с ожиданием интерес могут представлять такие характеристики системы как длина очереди и время ожидания заявки в очереди. В случае СМО с отказами интерес могут представлять вероятность пребывания СМО в состоянии , , в частности, вероятность отказа в обслуживании . Здесь – максимальная длина очереди, – количество каналов обслуживания.

3. Обслуживающее устройство. Этот элемент присутствует в любой СМО. В системе может быть как одно обслуживающее устройство, или канал обслуживания (скажем, магазин с одним отделом), так и несколько (отделы магазина). Число каналов может даже не быть постоянным (количество машин такси, находящихся в данный момент на стоянке). Различают однородные и специализированные каналы. Среди характеристик каналов важнейшей является интенсивность обслуживания – среднее число требований, которое способен обслужить канал в единицу времени. Каналы могут работать параллельно (кассы в универсаме), последовательно (конвейер) или смешанным образом. В процессе обслуживания они могут работать независимо или взаимодействовать, помогать друг другу. Каналы могут выходить из строя и поступать на восстановление в другую СМО уже в качестве требований на обслуживание. Бывают СМО, в которых каналы обслуживают в каждый момент времени не одно, а сразу несколько требований (экскурсовод в музее).

4. Дисциплина очереди. Дисциплина очереди определяет порядок образования очереди и характер поведения требований в процессе ожидания. Простейшей дисциплиной является первым пришелпервым обслужен. Возможен и противоположный порядок очереди, т. е. дисциплина прибыл последнимобслужен первым (проверка контролером изделий, которые накапливаются перед ним стопкой, так что последнее изделие проверяется первым). В некоторых СМО требование из очереди выбирается случайным образом (вызов студента к доске). Иногда требования делятся на группы, и одной группе требований отдается предпочтение перед другими. Предпочтение может выражаться в качестве обслуживания, его скорости или очередности. В последнем случае говорят о дисциплине очереди с учетом приоритетов. Множество приоритетов может быть конечным и даже бесконечным (сначала обслуживаются требования с меньшим ожидаемым временем обслуживания). Наконец, возможны многочисленные различия в поведении требований; так, например, прождав в течение некоторого времени, нетерпеливое требование может уйти из системы, т. е. покинуть систему до начала обслуживания.

5. Выходящий поток обслуженных требований. Иногда при рассмотрении СМО нас не интересует судьба уже обслуженных требований; требования, поступающие в систему, не связаны с требованиями, уходящими из нее. Этот элемент системы может оказаться очень важным в тех случаях, когда выходящий поток уже обслуженных требований является входящим (обычно со случайной, не известной заранее, задержкой во времени) для другой системы массового обслуживания. В первом случае СМО называются незамкнутыми, во втором – замкнутыми. Замкнутой системой является, например, поликлиника, обслуживающая данную территорию.

В качестве частных случаев входящего потока наиболее часто рассматривают следующие:

1. Детерминированный, или регулярный, входящий поток . В данном случае требования прибывают через равные промежутки времени длительностью . Поэтому длительность промежутков между последовательными моментами прибытия требований имеет функцию распределения

, . (4.1)

2. Пуассоновский входящий поток . В данном случае прибытие требований в систему следует пуассоновскому процессу с интенсивностью , . Таким образом, число требований, прибывающих в интервале распределено по закону Пуассона

, , (4.2)

и на основании известного свойства этого распределения промежутки времени между последовательными моментами прибытия требований имеют экспоненциальное распределение

, . (4.3)

Поскольку это распределение обладает марковским свойством

, (4.4)

такой процесс называется также марковским. Иначе его называют также чисто случайным.

Пуассоновский поток обладает свойствами:

, . (4.5)

3. Эрлангов входящий поток . В данном случае распределение длительности промежутков между последовательными моментами прибытия требований имеет вид

, , (4.6)

где – положительное целое число. При это распределение переходит в экспоненциальное. При характеристическая функция распределения (4.6) имеет вид

, (4.7)

где – характеристическая функция вырожденного распределения (4.1) при . Это означает, что при , эрлангов поток стремится к регулярному. В общем случае, когда , распределение (4.6) является –кратной сверткой распределения (4.3).

Следуя Кендаллу [2], будем обозначать СМО общего типа символом , где GIнезависимый входящий поток общего типа (GIgeneral independent), G – распределение длительности обслуживания общего типа, – число обслуживающих каналов.

Пример 4.1. [2]. Следуя системе обозначений Кендала, можем записать:

(1) одноканальная система массового обслуживания с пуассоновским входным потоком и экспоненциальным временем обслуживания.

(2) , многоканальная система массового обслуживания с теми же характеристиками, что и .

(3) – многоканальная СМО с пуассоновским входным потоком, в которой каждое требование обслуживается по принципу первым пришелпервым обслужен и при этом на его обслуживание затрачивается ровно временных единиц (регулярное время обслуживания).

(4) – многоканальная СМО с пуассоновским входным потоком и эрланговым порядка временем обслуживания.

4.2. Основные задачи теории массового обслуживания.

Основными задачами теории массового обслуживания являются:

· определение количественных характеристик СМО,

· исследование зависимости этих характеристик от параметров входного потока и структуры самой системы.

Решение этих задач дает возможность найти в системе слабые звенья, определить их влияние на эффективность обслуживания и найти пути улучшения обслуживания при заданных характеристиках входного потока требований и критерия качества обслуживания. Для решения последней задачи могут быть использованы различные методы оптимизации (нелинейное и динамическое программирование, теория игр и т. д.).

Выбор показателя эффективности обслуживания зависит от трех групп факторов:

· характеристик качества и надежности СМО,

· экономических показателей, характеризующих работу системы (стоимость системы, трудовые издержки обслуживающего персонала, убытки, связанные с несвоевременным обслуживанием и т. д.),

· особенностей структуры конкретной СМО (дисциплина обслуживания, ограничения на длину очереди и т. д.).

Приведем наиболее часто используемые факторы, влияющие на эффективность СМО. Однако отметим, предлагаемый комплекс факторов далеко не полный. Будем рассматривать функционирование СМО в установившемся режиме (). Обозначим:

– входной поток заявок

– среднее число заявок, поступающее в единицу времени,

– число каналов в системе,

– максимальная длина очереди,

– длина очереди (),

– число занятых каналов (),

– число заявок в системе,

– время ожидания заявки в очереди.

Основными характеристиками качества СМО с ожиданием являются:

1. Относительная пропускная способность, или вероятность того, что заявка будет принята к обслуживанию [1, 2]

. (4.8)

2. Абсолютная пропускная способность, или среднее число заявок, которое система может обслужить в единицу времени [1]

. (4.9)

3.Вероятность отказа в обслуживании

. (4.10)

4. Среднее число занятых каналов

. (4.11)

5.Среднее число каналов, свободных от обслуживания

. (4.12)

6. Средняя длина очереди

. (4.13)

7.Среднее число требований в системе

. (4.14)

8.Коэффициент занятости системы

. (4.15)

9.Коэффициент простоя системы

. (4.16)

10. Среднее время ожидания заявки в очереди

. (4.17)

В качестве экономических показателей могут быть использованы следующие стоимостные показатели:

· – стоимость обслуживания одного требования, находящегося в системе,

· – стоимость потерь, связанных с ожиданием требований в очереди в единицу времени,

· – стоимость убытков, связанных с уходом требований из системы,

· – стоимость эксплуатации одного канала системы в единицу времени,

· – стоимость простоя – го канала системы в единицу времени.

При выборе оптимальных параметров СМО (обычно это – интенсивность входного потока требований, – интенсивность обслуживания, , и т. д.) по экономическому критерию можно использовать следующие функции потерь [8]:

(а) для системы с отказами: ,

(b) для системы с ожиданием: .

(c) для смешанных систем: .

При решении некоторых задач можно пользоваться критерием экономической эффективности СМО

,

где – экономический эффект, полученный при обслуживании каждого требования.

Некоторые другие критерии качества систем массового обслуживания (критерий минимума себестоимости продукции, критерий минимума экономических потерь от ожидания обслуживания и т. д.) представлены в [13].

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить

Google