Прикладная математика
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 0.00 (0 Голоса)

Многоканальная система массового обслуживания

Будем рассматривать систему с ожиданием в стационарном режиме, т. е. систему, для которой входящий поток требований – простейший с параметром , время обслуживания – экспоненциальное с параметром . Предполагаем, что , .

6.1. Предельные вероятности состояний.

Процесс изменения состояний такой системы описывается системой дифференциальных уравнений процесса гибели и размножения с параметрами , (), (), . Обозначим состояния системы: – система свободна, – заняты каналов (), – заняты все каналов, – все каналы заняты, в очереди заявок (), – все каналы и места в очереди заняты. Размеченный граф системы показан на рис. 6.1.

Размеченный граф состояний системы  с ожиданием.

Рис. 6.1 Размеченный граф состояний системы с ожиданием.

Согласно (3.17), (3.18) получаем

, (6.1)

где находится из нормирующего условия

.

Отсюда, суммируя прогрессию со знаменателем , получаем

. (6.2)

Таким образом, все вероятности состояний найдены. Из (6.2) в случае получаем выражение для (а значит и для остальных вероятностей ) при [9]:

. (6.3)

Отметим, что результат (6.2) не совпадает с [1].

Определим основные характеристики рассматриваемой СМО.

1. Вероятность отказа в обслуживании:

(6.4)

2. Вероятность обслуживания:

. (6.5)

3. Средняя длина очереди:

. (6.6)

При вычислении используем равенство [9]

.

Результат (6.6) не совпадает с соответствующим результатом в [1].

4.Среднее число заявок в системе:

(6.7)

.

3. Среднее число занятых каналов:

. (6.8)

Результат (6.8) не совпадает с соответствующим результатом в [1].

6.2. Время ожидания обслуживания

Этот вопрос излагается согласно [9]. Пусть , – время ожидания заявки, поступившей в систему в произвольный момент времени, . Обозначим через условную вероятность того, что время ожидания нашей заявки будет больше при условии, что в системе уже находится требований. Так как при , то по формуле полной вероятности:

.

Положим . Наша задача состоит в отыскании вероятности события при условии, что в момент поступления заявки все каналов заняты и, кроме того, в очереди находится заявок. Очевидно, что поступившая заявка пойдет на обслуживание только после того, как будет обслужено заявок ( заявок в очереди и одна заявка из числа, находящихся в данный момент на обслуживании). Искомая вероятность – это вероятность того, что за время будет обслужено не более, чем , заявок.

Пусть за время будет обслужено ровно требований, и () есть вероятность того, что за время будет обслужено ровно требований. Тогда:

, .

Так как время обслуживания распределено по экспоненциальному закону, то

, ,

и, следовательно, . Отсюда окончательно находим:

.

Таким образом,

, (6.9)

где – вероятность того, что все каналы заняты. При выводе (6.9) использовано равенство

.

Теперь, используя (6.9), получаем

. (6.10)

В случае получение функции распределения является более громоздкой задачей. Однако, выражение для в этом случае можно вывести, не прибегая к использованию . Соответствующее выражение получено в [1] и имеет вид:

. (6.11)

При из (6.11) следует (6.10).

6.3 Ограниченное время ожидания

На практике нередко встречаются СМО, в которых заявка, прождав некоторое время, может уйти из очереди (т. н. нетерпеливые заявки). Рассмотрим СМО подобного типа, оставаясь в рамках марковской модели. Предположим, что имеется система с ожиданием, в которой число мест в очереди не ограничено, но время пребывания заявки в очереди ограничено некоторым случайным сроком со средним . Таким образом, на любую заявку, стоящую в очереди, как бы действует поток уходов с интенсивностью . Если поток пуассоновский, то процесс , протекающий в системе, будет марковским. Снова будем нумеровать состояния системы по числу заявок, связанных с системой – как обслуживаемых, так и стоящих в очереди. Граф состояний системы показан на рис. 6.3.

Размеченный граф состояний системы  с неограниченной очередью и нетерпеливыми заявками.

Рис. 6.3. Размеченный граф состояний системы с неограниченной очередью и нетерпеливыми заявками.

Как видно из графа, перед нами опять схема гибели и размножения. Обозначим . Применяя общие выражения для предельных вероятностей состояний в этой схеме, получаем:

, ,

, , (6.12)

.

Если длина очереди не ограничена заранее никаким числом, и заявки терпеливы (не уходят из очереди), то стационарный режим существует только в случае . При соответствующая бесконечная геометрическая прогрессия расходится, что физически соответствует неограниченному росту очереди при .

Напротив, в СМО с нетерпеливыми заявками, уходящими рано или поздно из очереди, установившийся режим обслуживания при устанавливается всегда, независимо от интенсивности потока заявок . Это следует из того, что ряд в правой части первой формулы (6.12) сходится при любых положительных значениях и . Для СМО с нетерпеливыми заявками вероятность отказа не имеет смысла. Каждая заявка становится в очередь, но может и не дождаться обслуживания, уйдя из очереди раньше времени.

Среднее число заявок в очереди и среднее число занятых каналов вычисляются по формулам

(6.13)

. (6.14)

В [1] показано, что эти величины связаны между собой соотношением

. (6.15)

Таким образом, среднее число заявок в системе можно вычислять по формулам

(6.16)

В отличие от формул в предыдущих параграфах, где суммы сворачиваются с помощью формулы суммы геометрической прогрессии, в формулах (6.12) фигурирует ряд, не являющийся прогрессией. Однако, сумма этого ряда может быть вычислена приближенно, причем достаточно легко, так как члены ряда быстро убывают с увеличением их номера. В качестве приближенного значения для бесконечной суммы берется сумма конечного числа членов, а остаток оценивается по формуле

(6.17)

.

Можно доказать, что бесконечная сумма в квадратных скобках меньше, чем , и, следовательно,

.

Мы не будем выводить формул для среднего времени ожидания в очереди , так как для этого требуются достаточно сложные выкладки. Однако, заметим, что если в формулах (6.12) перейти к пределу при (или, что то же, при ), то при получится формула (6.10), т. е. нетерпеливые заявки станут терпеливыми.

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить

По темам:

Google