Прикладная математика
  • Регистрация
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 0.00 (0 Голоса)

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ

С описательной точки зрения в природе имеется важный класс механических систем, которые описываются дифференциальными уравнениями. Однако здесь важно отметить, что для возможности математического описания какого-нибудь реального явления или процесса неизбежно приходится упрощать, идеализировать это явление, выделяя и учитывая лишь наиболее существенные из влияющих на него факторов и отбрасывая остальные, менее существенные. При этом неизбежно встает вопрос о том, удачно ли выбраны упрощающие предположения. В конечном счете, этот вопрос решается практикой – соответствием полученных выводов с опытными данными, и во многих случаях, возможно, указать условия, при которых некоторые упрощения заведомо невозможны.

 

Если некоторое явление описывается системой дифференциальных уравнений

(II.1)

с начальными условиями , которые обычно являются результатами измерений и, следовательно, неизбежно получены с некоторой погрешностью, то естественно возникает вопрос о влиянии малого изменения начальных значений на искомое решение.

Если окажется, что сколь угодно малые изменения начальных данных способны изменить решение, то решение, определяемое выбранными нами неточными начальными данными, обычно не имеет никакого прикладного значения и даже приближенно не может описывать, изучаемое явление.

Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений

Дадим некоторые основные понятия и определения, связанные с представлениями механических процессов и явлений, описываемыми дифференциальными уравнениями и их системами.

Траектории

Графическое представление любого решения системы дифференциальных уравнений (II.1) как геометрического места точек пространства переменных , обращающих систему (II.1) в систему тождеств, будем называть траекторией.

Проекция траектории на пространство переменных называется фазовой траекторией, а само пространство – фазовым.

Здесь важно отметить, что все фазовые траектории динамических систем вида (II.1) могут быть подразделены на три класса:

особые точки, которые соответствуют положениям равновесия системы; замкнутые траектории (среди них предельные циклы); все остальные – траектории общего вида.

Системы дифференциальных уравнений вида:

(II.2)

называются автономными. Их траектории совпадают с фазовыми траекториями, а пространство переменных – с фазовым пространством, так как в системе явно не присутствует независимая переменная .

II.2. Особые точки

Понятие особой точки имеет место для автономных систем вида (II.2). Особые точки, с механистической точки зрения, соответствуют положениям равновесия систем вида (II.1) или равновесным ее решениям. В этом смысле, такая точка при своем движении в фазовом пространстве, имеет проекции вектора скорости, равные нулю, то есть точка находится в покое[1] или движется равномерно относительно инерционной системы отсчета.

Таким образом, если известно, что точка является положением равновесия системы (II.2), то:

. (II.3)

Соотношения (II.3) фактически является определением, в соответствии с которым особые точки могут быть найдены, как решение системы (в общем случае нелинейной) алгебраических уравнений:

. (II.4)

Очевидно, что для линейной системы:

(II.5)

автоматически особой точкой (положением равновесия) является начало координат и других нет.

Здесь и далее, будем использовать обозначения: .

На плоскости, особой точкой системы

где функции и непрерывно дифференцируемы по обоим аргументам и , является такая точка , в которой , .

Особые точки линейных автономных систем дифференциальных уравнений имеют некоторую классификацию, которая связана с характером спектра ее матрицы. В частности, для классификации особых точек систем вида

необходимо найти корни характеристического уравнения

.

При этом имеем:

корни характеристического уравнения: и (одного знака), то особая точка – узел (устойчивый или неустойчивый в зависимости от знаков собственных чисел – корней характеристического уравнения). Узел изображен на рисунке 1 а);

 
Рис. 1. Особые точки линейной автономной системы на
плоскости.

корни характеристического уравнения: и (разных знаков), то особая точка – седло (см. рисунок 1 б)); если корни комплексные с ненулевой вещественной частью, то особая точка – фокус (устойчивый или неустойчивый, в зависимости от знака вещественной части). Фокус изображен на рисунке 1 в); если вещественные части комплексных корней характеристического уравнения нулевые (сами корни чисто мнимые), то особая точка – центр (см. рисунок 1 г); для двух вещественных и равных корней характеристического уравнения не равных нулю имеет место особая точка, которая классифицируется как вырожденный или дикритический узел (см. рисунок 1 д и е); в критическом случае, когда один или оба корня уравнения равны нулю (случай: ), то решения на плоскости изображаются параллельными прямыми.

Изображение фазовых траекторий (кривых, графически представляющих решения соответствующих систем на плоскости ) в случае узла, седла и вырожденного узла, необходимо, прежде всего, найти те решения, которые изображаются прямыми, проходящими через особую точку (в случае седла они называются сепаратриссами). Эти прямые всегда направлены вдоль собственных векторов матрицы, составленной из коэффициентов данной системы.

Замечание: Напомним, как определяется спектр (полный набор собственных чисел) матрицы и совокупность ее собственных векторов. Матрица

,

как линейный оператор, действуя как отображение на векторное пространство, некоторые векторы только деформирует (сжимает или растягивает) с некоторым коэффициентом деформации . Таким образом:

. (II.6)

Такие векторы называют собственными векторами, а соответствующие числа – собственными числами. Собственные числа образуют спектр.

Из (II.6), простыми алгебраическими преобразованиями получим

.

Получим однородную систему линейных алгебраических уравнений:

, (единичная матрица),

которая неопределенна, так как собственный вектор матрицы может быть определен с точностью до направления.

Отсюда:

(II.7)

– характеристическое уравнение, записанное в векторной форме. В матричной форме (II.7) будет иметь вид:

. (II.8)

Заметим также, что, если раскрыть определитель в соотношении (II.8), то в итоге, после приведения подобных, получим алгебраическое уравнение й степени относительно параметра :

. (II.9)

И, как уже отмечалось, согласно основной теореме алгебры, (II.9) имеет ровно корней, вещественных и комплексных с учетом их кратности. Таким образом, спектр матрицы имеет ровно элементов (среди которых возможны и одинаковые).

Относительно множества собственных векторов это не совсем так. Дело в том, что совокупность собственных векторов, образует так называемое инвариантное пространство, и здесь учитываются только те векторы (а их бесконечное множество, так как каждый собственный вектор определяется с точностью до направления), которые линейно независимы в совокупности.

Вернемся к особым точкам и фазовым траекториям. В случае узла фазовые траектории касаются той прямой, которая направлена вдоль собственного вектора, соответствующего меньшему по абсолютной величине значению .

Для фокуса необходимо определить направление закручивания траекторий. Здесь, исследуется устойчивость этой точки по знакам вещественных частей собственных чисел и, далее, определяется направление, в котором происходит движение точек вдоль траектории вокруг особой точки. Для этого достаточно построить в какой-нибудь из них вектор скорости – он направлен по касательной к движению.

II.1.3. Устойчивость по первому приближению

При исследовании устойчивости точки покоя системы дифференциальных уравнений

(II.10)

где дифференцируемые в окрестности особой точки функции, часто применяется следующий метод.

Пользуясь дифференцируемостью функций , представляют систему (II.10) в окрестности в виде

, (II.11)

где имеют порядок выше первого относительно , и вместо точки покоя системы (II.10) исследуют свойства устойчивости той же точки покоя, но для линеаризованной в ее окрестности системы

, (II.12)

которая называется системой уравнений первого приближения для (II.11).

Очевидно, что исследование свойств устойчивости системы уравнений первого приближения, является задачей более легкой, чем аналогичные исследования исходной нелинейной системы.

Теорема 1. Если система уравнений (II.11) стационарна в первом приближении, все члены в достаточно малой окрестности начала координат при удовлетворяют неравенствам , где и , причем (т. е., если не зависят от , то их порядок выше первого относительно нормы: и все корни характеристического уравнения

, (II.13)

имеют отрицательные вещественные части, то тривиальные (нулевые) решения системы уравнений (II.11) и системы уравнений (II.12) асимптотически устойчивы.

Теорема 2. Если система уравнений (II.11) стационарна в первом приближении, все функции удовлетворяют условиям предыдущей теоремы, и хотя бы один корень характеристического уравнения (II.13) имеет положительную вещественную часть, то точка покоя системы (II.11) и соответственно системы (II.12) неустойчива.

Пример 1. Исследовать на устойчивость точку покоя системы

Нелинейности системы удовлетворяют условиям теоремы 1 и 2. Система первого приближения в окрестности имеет вид:

Характеристическое уравнение

имеет корни . Следовательно, в силу теоремы 2, рассматриваемая точка покоя системы может быть классифицирована как неустойчивый фокус.

Пример 2. Исследовать на устойчивость точку покоя системы

.

Используя разложения функций и в ряд Маклорена, представляем систему в виде

,

где функции и удовлетворяют условиям теоремы 1 и теоремы 2.

Характеристическое уравнение имеет вид:

.

Откуда легко находятся собственные числа матрицы системы первого приближения. Нетрудно видеть, что они имеют отрицательные вещественные части и, следовательно, точка покоя – асимптотически устойчива – устойчивый фокус.

Исследование устойчивости с помощью функций Ляпунова

Второй метод, или, как принято сейчас говорить – прямой метод, получил наибольшее распространение, благодаря своей простоте и эффективности. Суть его заключается в построении для исследуемой системы дифференциальных уравнений некоторой непрерывной однозначной функции, так называемой функции Ляпунова такой, что по свойствам этой функции и ее полной производной, взятой в силу системы

,

можно говорить о поведении нулевого решения системы (II.1), в смысле его устойчивости (здесь – правые части исследуемой системы).

В частности, самим А. М. Ляпуновым была сформулирована следующая теорема.

Теорема (А. М. Ляпунова). Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что, возможно, найти знакоопределенную функцию, производная которой в силу этих уравнений была бы или знакоопределенной (знакопостоянной) функцией противоположного знака с, или тождественно равной нулю, то невозмущенное движение устойчиво.

В частности, если условие

при

заменить более сильным условием:

при ,

а функция непрерывна при , то нулевое решение системы (II.1) асимптотически устойчиво.

Теорема (Н. Г. Четаева). Пусть система (II.1) обладает нулевым решением. Пусть в некоторой области пространства переменных существует дифференцируемая функция, причем:

точка принадлежит границе области ; на границе области при ; в области при имеем, , функция непрерывна.

Тогда нулевое решение системы (II.1) неустойчиво.

Не существует общего метода построения функции Ляпунова , когда общее решение системы (II.1) неизвестно. В ряде случаев функцию Ляпунова удается построить в виде квадратичной формы

,

или в виде суммы квадратичной формы и интегралов от нелинейных функций, входящих в правую часть данной системы.

Частотные критерии устойчивости

1). Условия отрицательности всех вещественных частей корней уравнения

, (II.14)

с вещественными коэффициентами.

а). Необходимое условие: все . В случае это условие является и достаточным.

б). Условие Рауса – Гурвица: необходимо и достаточно, чтобы были положительными все главные диагональные миноры матрицы Гурвица

.

На главной диагонали этой матрицы стоят числа .В каждой строке индекса предыдущего числа. Числа с индексами или заменяются нулями.

Главные диагональные миноры матрицы Гурвица

в) Условия Льенара-Шипара. Необходимо и достаточно, чтобы все >0 и чтобы >0, >0, >0,…, где главные диагональные миноры матрицы Гурвица.

Эти условия равносильны условиям Рауса-Гурвица, но удобнее, т. к. содержат меньше детерминантов.

Пример 3. Исследовать устойчивость нулевого решения уравнения

.

Решение.

Запишем условия Льенара-Шипара:

>0, >0

Условия Льенара-Шипара выполнены и, следовательно, корни уравнения имеют отрицательные вещественные части. Таким образом, если уравнение является характеристическим для некоторой линейной системы дифференциальных уравнений, то ее (системы) равновесное решение будет устойчивым, причем асимптотически.

г) Критерий Михайлова.

Необходимо и достаточно, чтобы на комплексной плоскости точка , где левая часть характеристического уравнения, при изменении от 0 до +не проходила через начало координат и сделала поворот вокруг него на угол в положительном направлении.

Другая (эквивалентная) формулировка критерия Михайлова:

Необходимо и достаточно, чтобы корни многочленов

 

были все положительными, различными и чередующимися, начиная с корня , т. е. 0<<<<<…

Заметим, что многочлен при равен .

Пример 4. . Здесь , , а многочлены , имеют корни . Значит, . По критерию Михайлова все корни многочлена имеют отрицательные вещественные части и нулевое решение устойчиво.

[1] Другое название таких точек – точки покоя.

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить