Прикладная математика
  • Регистрация
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 0.00 (0 Голоса)

Уравнение распространения тепла в стержне

Рассмотрим однородный стержень длины . Предположим, что боковая поверхность стержня теплонепроницаема и во всех точках поперечного сечения стержня температура одинакова. Если стержень предоставить самому себе, то заключенное в нем тепло будет протекать от более нагретых мест к менее нагретым, и температура стержня с течением времени станет выравниваться. На этот процесс будет влиять также режим, который поддерживается на концах стержня. Задача состоит в том, чтобы, зная этот режим и распределение температуры в начальный момент времени , найти это распределение в последующие моменты.

Ось располагают так, что один конец стержня совпадает с точкой , а другой – с точкой . Обозначим через температуру в сечении стержня с абсциссой в момент времени .

Функция должна удовлетворять дифференциальному уравнению

.

Это уравнение и называется уравнением распространения тепла (уравнением теплопроводности) в однородном стержне.

Чтобы решение уравнения было определенно, функция должна удовлетворять краевым условиям, соответствующим физическим условиям задачи. Так называемая первая краевая задача для , заключается в следующем:

, , . (III.18), (III.19), (III.20)

Начальное условие (III.18) соответствует тому, что при в различных сечениях стержня задана температура, равная φ. Граничные условия (III.19) и (III.20) соответствуют тому, что на концах стержня при и поддерживается температура, равная и соответственно.

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить