Прикладная математика
  • Регистрация
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 0.00 (0 Голоса)

Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах. Решение задачи Дирихле для кольца

Пусть гармоническая функция. Тогда

или .

Рассмотрим цилиндрические координаты

,

откуда

.

Заменяя независимые переменные на и , придем к функции . Используя правило дифференцирования сложной функции нескольких переменных, можно показать, что найденная функция должна удовлетворять уравнению

.

Это и есть уравнение Лапласа в цилиндрических координатах.

Если функция не зависит от , а только от и , то функция будет удовлетворять уравнению

, (III.26)

где и полярные координаты на плоскости.

Найдем решение уравнения Лапласа в области , ограниченной окружностями и и удовлетворяющее граничным условиям:

, (III.27)

где постоянные.

Решим эту задачу в полярных координатах. Целесообразно искать решение, не зависящее от , так как граничные условия от не зависят. Уравнение (III.26) в этом случае примет вид

.

Очевидно, что это обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка. Понижая порядок и интегрируя его, найдем

. (III.28)

Постоянные и определяются из граничных условий (III.27)

, .

Подставляя найденные значения и в формулу (III.28), окончательно получим

.

Замечание. Фактически решена задача нахождения функции , удовлетворяющей уравнению Лапласа в области, ограниченной поверхностями (в цилиндрических координатах): , и следующим граничным условиям:

.

(задача Дирихле-Неймана).

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить