Прикладная математика
  • Регистрация
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 0.00 (0 Голоса)

Уравнение колебаний струны. Формулировка краевой задачи.

В математической физике струной называют гибкую упругую нить. Пусть струна в начальный момент времени расположена на отрезке оси . Предположим, что ее концы закреплены в точках и . Если струну отклонить от первоначального положения, а потом предоставить самой себе или придать ее точкам некоторую скорость, то точки струны будут совершать движение. Задача заключается в определении формы струны в любой момент времени и в определении закона движения каждой точки струны в зависимости от времени.

Если предположить, что движение точек струны происходит перпендикулярно оси и в одной плоскости, то процесс колебания струны описывается одной функцией , которая определяет величину перемещения точки струны с абсциссой в момент .

Известно, что при отсутствии внешней силы функция должна удовлетворять дифференциальному уравнению в частных производных второго порядка

.

Для полного определения движения струны одного уравнения недостаточно. Искомая функция должна удовлетворять граничным условиям, указывающим, что делается на концах струны (при и ), и начальным условиям, описывающим состояние струны в начальный момент (). Совокупность граничных и начальных условий называется краевыми условиями.

Пусть, например, концы струны при и неподвижны. Тогда при любом должны выполняться равенства

.

Это – граничные условия для рассматриваемой задачи. В начальный момент струна имеет некоторую форму, которая определяется функцией , т. е.

.

Далее в начальный момент должна быть задана скорость в каждой точке струны, которая определяется функцией , т. е.

.

Эти два условия называются начальными условиями.

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить