Прикладная математика
  • Регистрация
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 0.00 (0 Голоса)

СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

I.1. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Основные понятия и определения.

В общем виде система обыкновенных дифференциальных уравнений может быть записана следующим образом

(I.1)

где функции определены в некоторой мерной области D переменных . Такие системы называются нормальными системами п дифференциальных уравнений первого порядка с неизвестными функциями

Число уравнений, входящих в систему (I.1), определяет ее порядок.

Решением системы (I.1) в интервале (а, b) называется совокупность функций , непрерывно дифференцируемых в (а,b) вместе со своими производными и обращающих каждое уравнение системы (I.1) в тождество.

Задача Коши для систем дифференциальных уравнений первого порядка имеет следующую формулировку. Найти решение системы, удовлетворяющее начальным условиям:

(I.2)

где – заданные числа;

Теорема (о существовании и единственности решения задачи Коши). Если функции непрерывны в окрестности точки и имеют непрерывные частные производные , то всегда найдется некоторый интервал с центром , в котором существует единственное решение системы (I.1), удовлетворяющее начальным условиям.

Общим решением системы (I.1) называется совокупность функций , зависящих от n произвольных постоянных и удовлетворяющих следующим условиям:

1) функции определены в некоторой области изменения переменных и имеют непрерывные частные производные

2) совокупность является решением системы (I.1) при любых значениях .

3) для любых начальных условий (I.2) из области , где выполняются условия теоремы Коши, всегда найдутся такие значения произвольных постоянных , что будут справедливы равенства

Геометрически общее решение системы представляет собой параметрическое семейство плоских кривых.

Частным решением системы (I.1) называется решение, полученное из общего при некоторых частных значениях произвольных постоянных.

Одним из методов решения системы (I.1) является сведение ее к одному или нескольким дифференциальным уравнениям высших порядков (метод исключения).

Все сказанное распространяется и для систем линейных дифференциальных уравнений, которые имеют вид

(I.3)

где функции обычно предполагаются непрерывными в некотором интервале Если все , то система называется однородной, в противном случае – неоднородной. Если то система называется линейной с постоянными коэффициентами.

Процесс нахождения общего решения системы называется ее интегрированием. Для этого, составляют характеристическое уравнение

,

где Раскрывая определитель, приходим к алгебраическому уравнению степени относительно с вещественными коэффициентами, которое, согласно утверждению основной теоремы алгебры, имеет ровно корней вещественных и комплексных с учетом их кратности.

При этом возможны следующие случаи.

1.  Корни характеристического уравнения – вещественные и различные. Обозначим их через Известно, что каждому корню соответствует частное решение вида

(I.4)

где коэффициенты определяются из систем линейных алгебраических уравнений

. (I.5)

Все частные решения вида (I.4) образуют фундаментальную систему решений. Общее решение однородной системы с постоянными коэффициентами, получаемой из системы (I.3) при , , представляет собой следующую совокупность функций, являющихся линейной комбинацией решений (I.4):

где произвольные постоянные.

2.  Корни характеристического уравнения – различные, но среди них имеются комплексные. Известно, что в этом случае каждой паре комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения соответствует пара частных решений:

(I.6)

где ; коэффициенты определяются из системы (I.5) соответственно для и . Коэффициенты оказываются, как правило, комплексными числами, а соответствующие им функции – комплексными функциями. Выделяя мнимую и вещественную части функций и , и пользуясь тем, что для линейных уравнений с вещественными коэффициентами и мнимая, и вещественная части решения также являются решениями, можно получить пару частных вещественных решений однородной системы.

3.  Среди корней характеристического уравнения имеются кратные. Пусть корень кратности характеристического уравнения. Тогда решение системы (I.2) (для которой , (), соответствующее этому кратному корню, ищем в виде:

(I.7)

Числа находим следующим образом: подставляем функции из (I.7) и их производные в исходную систему (3) при указанных ограничениях на и , а затем, после сокращения на , приравняем коэффициенты при одинаковых степенях в левых и правых частях полученных равенств. В результате проведенной процедуры из всех чисел всегда остаются в качестве свободных параметров, которые принимаются как произвольные постоянные.

Решения из фундаментальной системы, соответствующие простым (некратным) корням характеристического уравнения, определяются так, как это было показано в п. п. 1 и 2.

I.2. Метод вариации произвольных постоянных

Если система – неоднородная, то, зная общее решение вида (I.7) соответствующей однородной системы, можно найти общее решение исходной неоднородной системы. Это осуществляется с помощью метода вариации произвольных постоянных в решении (I.7).

Известно, что общее решение неоднородной системы всегда можно записать в виде (I.7), заменив произвольные постоянные соответственно функциями (включающими в себя аддитивно произвольные постоянные ). Эти функции определяются с помощью данной неоднородной системы: в нее подставляют и , и получают линейную систему алгебраических уравнений относительно , решение которой всегда существует и представимо в виде

,

где известные функции. Интегрируя эти соотношения, находим:

,

где произвольные постоянные интегрирования. Подставляя в решение (I.7) вместо найденные значения , получаем общее решение неоднородной системы уравнений.

I.3. Метод исключения

При выполнении некоторых условий всегда можно исключить все неизвестные функции, кроме одной, например , и получить для одно линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами (если в системе (I.3) ) порядка . Решив его, найдем все остальные неизвестные функции с помощью операции дифференцирования. Для этого, дифференцируем по обе части первого уравнения системы (I.3) (считая ), затем вместо подставляем их значения из системы (I.3). Получаем:

, (I.8)

где обозначает известную линейную комбинацию с постоянными коэффициентами функций , а линейную комбинацию функций и . Дифференцируя обе части уравнения (I.8) по , опять получаем линейное неоднородное уравнение

.

Продолжая процесс, находим

В результате получаем систему уравнений:

(I.9)

Первые уравнений системы (I.9) разрешаем относительно функций (это, как правило, возможно). Очевидно, что эти функции выражаются через :

(I.10)

Подставляя выражения для из системы (I.10) в последнее уравнение системы (I.9), приходим к линейному неоднородному дифференциальному уравнению го порядка с постоянными коэффициентами

,

общее решение, которого определяется с помощью известных методов:

. (I.11)

Дифференцируя последнее соотношение, раз по , находим производные , подставляем их в систему (I.10) и получаем вместе с функцией (I.11) общее решение исходной системы:

(I.12)

Для решения задачи Коши с учетом системы (I.11)–(I.12) и заданных начальных условий находим значения произвольных постоянных и подставляем их в систему (I.11)–( I.12).

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить