Прикладная математика
  • Регистрация
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 0.00 (0 Голоса)

Решение уравнения теплопроводности

Пусть в начальный момент времени задана температура в различных сечениях стержня. Концы стержня погружены в тающий лед, т. е. в них поддерживается постоянная температура равная нулю. Требуется определить распределение температуры в стержне в последующие моменты времени. Таким образом, нужно найти решение дифференциального уравнения

,

удовлетворяющее краевым условиям

.

Применяя к решению поставленной задачи метод разделения переменных можно получить решение уравнения, удовлетворяющее граничным условиям, в виде

. (III.21)

Коэффициенты выбираются так, чтобы удовлетворялось начальное условие, согласно которому будем иметь

.

Заметим, что из равенства (III.21) следует, что при функция u(x,t)0. Физический смысл этого соотношения ясен: с течением времени в стержне установится температура льда, в который погружены его концы.

Если стержень очень длинный, то на процессы, протекающие в его средней части, главное влияние оказывает начальное распределение температуры. В задачах такого типа стержень считается бесконечным. Краевые условия при этом не учитываются, и на искомую функцию накладывают только начальное условие

, (III.22)

где функция определена на всей числовой оси. Задача решения уравнения теплопроводности при условии (III.22) называется задачей Коши.

Метод разделения переменных позволяет найти решение уравнения в следующем виде

.

Функции и выбирают так, чтобы выписанное решение удовлетворяло начальному условию (III.22). Полагая в последнем равенстве , получим

.

Сравнивая интеграл в правой части равенства с интегралом Фурье для функции :

,

видим, что

,

.

Подставляя найденные выражения и в функцию и преобразовывая ее, окончательно получим

.

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить