Прикладная математика
  • Регистрация
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 4.83 (3 Голоса)

Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге

Рассмотрим на плоскости круг с центром в начале координат радиуса . Пусть на его окружности задана некоторая функция , где полярный угол. Найдем функцию , удовлетворяющую внутри круга уравнению Лапласа

, (III.29)

которая на окружности принимающую заданные значения

.

Решение задачи можно найти методом разделения переменных, полагая

.

Подставляя эту функцию в уравнение (III.29), получим

,

или

.

Левая часть этого равенства не зависит от , а правая от , следовательно, они равны постоянному числу, которое обозначили через . Таким образом, находим два дифференциальных уравнения

, (III.30)

. (III.31)

Общее решение первого из этих уравнений будет

.

Второе уравнение является уравнением Эйлера. Его решение найдем в виде . Подставив выписанную функцию в уравнение (III.31), найдем два частных линейно независимых решения и . Тогда общее решение уравнения (III.31) запишется в виде

.

Итак,

. (III.32)

Полученная функция будет решением данного уравнения при любом значении , отличном от нуля. Если , то уравнения (III.30) и (III.31) принимают вид

.

Откуда получаем

.

Так как решение должно быть периодической функцией от с наименьшим положительным периодом , то в найденном выражении для . Далее функция должна быть непрерывной и конечной в круге, поэтому и .

Решение исходной задачи будем составлять в виде суммы решений (III.32). Сумма должна быть периодической функцией от . Для этого должно принимать целые значения. Итак,

. (III.33)

Постоянные и находят так, чтобы выполнялось краевое условие задачи. Подставляя в выражение для значение , получим

.

Найденная сумма является рядом Фурье для функции на интервале . Следовательно, и должны определяться по формулам

, , . (III.34)

Таким образом, ряд (III.33) с коэффициентами, определенными по формулам (III.34), будет решением поставленной задачи, если он допускает почленное двукратное дифференцирование по и .

Пример 7. Найти решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге , принимающее на границе круга значения .

Решение задачи будем искать в виде

.

Найдем коэффициенты ряда по формулам (III.34).

.

.

.

Итак,

.

Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге - 4.7 out of 5 based on 3 votes

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить