Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности. Критерий согласия Пирсона.

Если закон распределения генеральной совокупности неизвестен, но есть основания предположить, что он имеет определенный вид (назовем его ), то проверяют основную гипотезу: генеральная совокупность распределена по закону .

Проверка гипотезы о предполагаемом законе неизвестного закона распределения производится с помощью специально подобранной случайной величины – критерия согласия.

Определение 9. Критерием согласия[1] называется критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения.

Ограничимся описанием критерия К. Пирсона к проверке гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности (критерий аналогично применяется и для других типов распределений, в чем и состоит его основное достоинство). С этой целью будем сравнивать эмпирические (наблюдаемые) и теоретические (вычисленные в предположении нормального распределения) частоты.

Важно отметить, что практически невозможно в результате опыта получить эмпирические частоты, полностью совпадающие с теоретически вычисленными (см. ранее рассмотренный пример). Напомним результаты произведенных вычислений:

Эмпирические частоты	6	13	38	74	106	85	30	10	4
Теоретические частоты	3	14	42	82	99	76	37	11	2

Здесь, возможно, столкнуться со следующими случаями:

* расхождение частот случайно (незначимо) и объясняется малым числом наблюдений, либо способом группировки, либо другими причинами;

* расхождение частот неслучайно (значимо) и объясняется тем, что теоретические частоты вычислены, исходя из неверной гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности.

Упомянутый выше критерий Пирсона, как и любой другой критерий, не доказывает справедливость гипотезы, а лишь устанавливает, на принятом уровне значимости, ее согласованность или несогласованность с данными наблюдений.

Пусть по выборке объема получено эмпирическое распределение:

Варианты

...

Эмпирические

частоты

...

Допустим, что в предположении нормального распределения генеральной совокупности, вычислены теоретические частоты . При уровне значимости , требуется проверить основную гипотезу: генеральная совокупность распределена нормально.

В качестве критерия проверки основной гипотезы применим случайную величину

(IV.11)

Очевидно, что чем меньше различаются эмпирические и теоретические частоты, тем меньше величина критерия (IV.11) и, следовательно, он в известной степени характеризует близость эмпирического и теоретического распределений.

Известно, что при закон распределения случайной величины (IV.11), независимо от того, какому закону распределения подчинена генеральная совокупность, стремится к закону распределения с степенями свободы. Поэтому случайная величина (IV.11) обозначена , а сам критерий называют критерием согласия «хи-квадрат».

Число степеней свободы находят по формуле: где

число групп (частичных интервалов) выборки;

число параметров предполагаемого закона распределения, которые оценены по данным выборки.

В частности, если предполагаемое распределение нормальное, то оцениваются два параметра (математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение), поэтому и число степеней свободы

Поскольку односторонний критерий более «жестко» отвергает основную гипотезу, чем двусторонний, построим правостороннюю критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область, в предположении справедливости основной гипотезы, была равна принятому уровню значимости :

Таким образом, правосторонняя критическая область определяется неравенством

а область принятия основной гипотезы – неравенством

Обозначим значение критерия, вычисленное по данным наблюдений, через и сформулируем правило проверки основной гипотезы.

Для того чтобы, при заданном уровне значимости, проверить основную гипотезу : генеральная совокупность распределена нормально, необходимо сначала вычислить теоретические частоты, а затем наблюдаемое значение критерия

(IV.12)

и по таблице критических точек распределения , по заданному уровню значимости , и числу степеней свободы , найти критическую точку .

* Если , то нет оснований отвергать основную гипотезу;

* Если , то основную гипотезу отвергают.

Замечание 1. Объем выборки должен быть достаточно велик, во всяком случае, не менее 50. Каждая группа должна содержать не менее 8-10 вариант; малочисленные группы следует объединить в одну, суммируя при этом частоты.

Замечание 2. Поскольку возможны ошибки первого и второго рода, в особенности, если согласование теоретических и эмпирических частот «слишком хорошее», следует проявлять осторожность. Например, можно повторить опыт, увеличить число наблюдений, воспользоваться другими критериями, построить график распределения, вычислить асимметрию и эксцесс.

Замечание 3. В целях контроля вычислений формулу (IV.12) преобразуют к виду

В качестве иллюстрации рассмотрим пример.

Пример 10: При уровне значимости 0,05, проверим гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности. Эмпирические данные и выровненые теоретические частоты возьмем из примера, рассмотренного ранее.

эмпирические частоты	6	13	38	74	106	85	30	14
Теоретические частоты	3	14	42	82	99	76	37	13

Вычислим , для чего составим таблицу


1	6	3	3	9	3	36	12
2	13	14	-1	1	0,07	169	12,07
3	38	42	-4	16	0,38	1444	34,38
4	74	82	-8	64	0,78	5476	66,78
5	106	99	7	49	0,49	11236	113,49
6	85	76	9	81	1,07	7225	95,07
7	30	37	-7	49	1,32	900	24,32
8	14	13	1	1	0,08	196	15,08
	366	366					373,19

Контроль :

Найдем далее число степеней свободы, учитывая, что число групп выборки (число различных вариант)

По таблице критических точек распределения по уровню значимости и числу степеней свободы , находим . Таким образом, в силу того, что нет оснований отвергнуть основную гипотезу. Другими словами, расхождение эмпирических и теоретических частот незначимое. Следовательно, данные наблюдений согласуются с гипотезой о нормальном распределении генеральной совокупности.