Прикладная математика
  • Регистрация
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 5.00 (1 Голос)

Краевые задачи для уравнения Лапласа

К уравнениям эллиптического типа приводит изучение стационарных, т. е. не меняющихся во времени процессов различной физической природы. Простейшим уравнением эллиптического типа является уравнение Лапласа

.

Например, если имеется однородная пластина, занимающая область , ограниченную линией , то можно показать, что температура в различных точках пластины должна удовлетворять уравнению

.

Если процесс установившийся, т. е. температура не зависит от времени, а зависит только от координат точек пластины, то и, следовательно, температура удовлетворяет уравнению Лапласа

. (III.23)

Функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа, называются гармоническими. В каждой задаче, связанной с уравнением Лапласа, искомое решение выделяется из множества всех гармонических функций с помощью дополнительного условия, которое чаще всего является краевым. Так, чтобы температура на пластине определялась однозначно, нужно знать температуру на контуре пластины. Таким образом, требуется найти функцию , удовлетворяющую уравнению (23) внутри области и принимающую в каждой точке кривой заданные значения:

. (III.24)

Эта задача называется задачей Дирихле или первой краевой задачей для уравнения (III.23).

Если на границе температура неизвестна, а известен тепловой поток в каждой точке кривой, который пропорционален производной функции по направлению вектора , где единичный вектор, направленный по нормали к кривой, то вместо условия (III.24) на границе области будем иметь условие

. (III.25)

Задача нахождения решения уравнения (III.23), удовлетворяющего краевому условию (III.25), называется задачей Неймана или второй краевой задачей.

Если вместо плоской пластины задано однородное тело , ограниченное поверхностью , то функция будет функцией трех переменных и должна удовлетворять уравнению

.

Краевые условия (III.24) или (III.25) в этом случае должны выполняться на поверхности .

Заметим, что задача Дирихле решается просто в одномерном случае, т. е. когда в соответствующей системе координат неизвестная функция зависит только от одной из координат.

В случае декартовых координат одномерное уравнение Лапласа принимает вид и его решением является линейная функция . Задача Дирихле в этом случае имеет решение , где .

Краевые задачи для уравнения Лапласа - 5.0 out of 5 based on 1 vote

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить