Операційне числення та його застосування
  • Регистрация
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 0.00 (0 Голоса)

Чисельні дослідження стійкості розв’язків систем лінійних диференціальних рівнянь з випадковими періодичними марковськими коефіцієнтами

Розглянемо систему диференціальних рівнянь

(6.11)

де — марковський періодичний випадковий процес, що набуває двох станів з імовірностями що задовольняють систему звичайних рівнянь:

Випадкову величину визначено так:

Система рівнянь для моментів другого порядку має вигляд [18]:

(6.12)

Заміною змінних та відокремленням змінних у правій частині рівняння (3.46) дістанемо систему рівнянь:

(6.13)

де

Елементарними перетвореннями зведемо (6.13) до системи:

(6.14)

Застосувавши перетворення Лапласа до системи рівнянь (6.14), дістанемо:

(6.15)

де

При породжуюче рівняння (4.32) для системи рівнянь (6.14) має корені

Виведемо формули для областей нестійкості у випадку основного резонансу на частоті Для цього за формулами (6.7) введемо неперервні матричні дроби, виконавши заздалегідь заміну на

Тоді для визначення характеристичних показників із рівняння (6.10) дістанемо визначник блочної матриці, в якому виписано три центральних рядки і стовпці, у такому вигляді:

(6.16)

На головній діагоналі два елементи в рівнянні (3.50) перетворюються на 0. У цьому випадку, як відомо (підрозд. 4.3), нескінченний визначник можна звести до скінченного визначника скінченного порядку:

(6.17)

де

Ланцюгові дроби можна обчислити за формулами (6.8). Знайдемо їх безпосередньо із системи рівнянь (6.15). Поділивши перше рівняння (6.15) на , дістанемо:

(6.18)

Ці самі рівняння можна переписати у вигляді дробів:

(6.19)

Аналогічно, із другого співвідношення дістаємо рівняння

,

або, у вигляді дробів:

(6.20)

Із дробів (6.19) виключимо вираз за допомогою співвідношень (6.18), замінивши попередньо на Дістанемо вираз для через Застосувавши таке перетворення вдруге, подамо функції через функції При для функції дістанемо аналітичний вираз у вигляді ланцюгового дробу. Аналогічно, зі співвідношень (6.19), (6.20) знаходимо ланцюговий дріб для Таким чином, для ланцюгових дробів маємо явні вирази:

Для відшукання рівнянь меж областей нестійкості, як випливає зі сказаного, візьмемо Шукаємо характеристичні розв’язки системи рівнянь (6.11) при

Розглянемо два випадки:

1.  — досить мале. Тоді рівняння межі області нестійкості у просторі параметрів має вигляд:

(6.21)

де введено позначення

Справджується такий результат:

Нехай — досить малі числа. Тоді система диференціальних рівнянь (6.11) має нестійкий розв’язок при виконанні умов:

(6.22)

 Лема. Для існування областей нестійкості в разі основного резонансу для системи диференційних рівнянь (6.11) необхідне виконання умов:

(6.23)

Доведення. Рівняння (6.21) має кратний корінь, якщо

Оскільки то виконується рівність:

Позначимо

Тоді для існування розв’язків рівняння (6.21) необхідне виконання умови:

звідки випливає умова (6.23).

З аналізу умов стійкості розв’язків системи диференціальних рівнянь (6.11) випливає результат, здобутий, мабуть, вперше.

Система диференціальних рівнянь (6.11) з коефіцієнтами, що залежать від випадкового марковського періодичного процесу, що має нестійкі розв’язки в кожному зі станів, що їх набуває випадковий марковський процес, може мати стійкі розв’язки за рахунок збільшення кількості випадкових переходів з одного стану до іншого.

2.  — будь-яке число. У цьому випадку мовою «GW-BASIC» складено програму для численного визначення характеру залежності розв’язків системи диференціальних рівнянь (6.11) при від параметрів і , близьких до 0, і Побудовано межі областей нестійкості при і різних значеннях випадкового параметра

На рис. 6.2, 6,5 зображено межі областей нестійкості розв’язків системи диференційних рівнянь (6.11) за відсутності тертя здобуті чисельно при будь-якому (суцільна лінія) та при малому за формулами (6.22) (штрихова лінія). Значення випадкового параметра рівня відповідно 1; 0,4.

Як видно з рисунків, при малих значеннях параметрів обидві лінії практично збігаються.

На рис. 6.1, 6.3, 6.4 зображено межі областей нестійкості розв’язків системи диференціальних рівнянь (6.11) за наявності тертя здобуті також двома способами при наведених значеннях випадкового параметра і тертя :

Кількість нестійких значень тертя для системи диференціальних рівнянь (6.11) скінченна. При великому значенні тертя може й не бути жодної такої області. Крім того, зі збільшенням тертя області нестійкості звужуються.

На рис. 6.6 зображено залежність параметра від при «критичному» значенні випадкового параметру

У цьому випадку межа області нестійкості вироджується в лінію.

Рис. 6.1 Рис. 6.2

Рис. 6.3 Рис. 6.4

Рис. 6.5 Рис. 6.6

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить