Операційне числення та його застосування
  • Регистрация
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 0.00 (0 Голоса)

Чисельний метод дослідження стійкості розв’язків стохастичного диференціального рівняння та його використання для розв’язку економічних задач на ПЕОМ

Поставлено та розв’язано актуальну задачу розробки алгоритму знаходження умов стійкості рівноваги цін на прикладі дослідження стохастичного диференціального рівняння з використанням ПЕОМ.

Задачі аналізу попиту і пропозиції зручно розв’язувати на ПЕОМ, бо є можливість забезпечити більшу ефективність за рахунок оперативності та точності здобутих результатів.

Припустимо, продавець має в даний період часу деякий обсяг товару, який протягом цього періоду не збільшується за рахунок виробництва. Наприклад, торговець зерном закупив врожай після збирання та упродовж наступного року продає закуплену партію зерна з тижневим інтервалом аж до нового врожаю. За даних запасів тижнева пропозиція залежатиме від очікуваної ціни на наступному тижні та від пропонованої динаміки цін у наступному тижні. Якщо в наступному тижні передбачається зниження ціни, а в подальші тижні збільшення, тоді пропозиція буде стримуватися, якщо очікуване збільшення цін перевищує витрати зберігання. Пропозиція товару в найближчий наступний тиждень буде тим меншою, чим більшою буде очікуване збільшення ціни. І навпаки, якщо продавець очікує що протягом наступного тижня ціна буде високою, а наступного тижня вона спаде, пропозиція буде збільшуватися тим більш, чим більш передбачене зниження ціни.

Введемо позначення: ціна товару в наступному тижні — , тенденція формування ціни (похідна ціни за часом). При даному запасі пропозицію для наступного тижня можна описати залежністю:

(6.43)

Це детермінована динамічна функція пропозиції.

Але детерміноване рівняння пропозиції є нереальним [33]. Економічна теорія та витрати поводження продавців стверджує, що пропозиція зерна може залежать від таких факторів, як коливання:

1) чисельності продавців;

2) настрою продавців;

3) погоди, політики;

4) ціни на хліб і т. ін.

Такі фактори можуть бути включені в рівняння (6.43) шляхом об’єднання в деяку випадкову змінну

Тоді пропозиція товару може бути описана залежністю

Назвемо цю залежність стохастичною функцією пропозиції.

Аналогічно, введемо стохастичну функцію попиту

Умову рівноваги запишемо у вигляді стохастичного диференціального рівняння

(6.44)

Сформулюємо задачу:

Нехай існує ціна, яка забезпечує рівновагу. Якщо її встановлено, тоді продавець буде продавати всю запропоновану кількість товару. Але якщо установлено іншу ціну, чи буде подальший рух ціни за часом спрямований до положення рівноваги?

Для того щоб уникнути переходу системи від одного положення рівноваги до іншого, будемо розглядати невеликі відхилення від ціни рівноваги.

Рівновага в цінах буде стійкою, якщо за початковою зміною ціни відбувається повернення ціни до рівня рівноваги.

З точки зору математичної теорії стійкості розв’язок стохастичного рівняння виду (6.44) буде стійким, якщо математичне сподівання від розв’язку рівняння (6.44) буде прямувати до 0 при

У цій праці запропоновано алгоритм чисельного дослідження стійкості в середньому розв’язків системи рівнянь (6.44). Економічна інтерпретація поставленої задачі: знаходження умов, при яких рівновага в цінах буде стійкою.

Розглянемо більш розширену задачу, коли випадкова змінна не є звичайним випадком збурення, а залежить від марковського процесу.

Припустимо що — випадковий марковський процес, який набуває станів з імовірностями які задовольняють систему лінійних диференціальних рівнянь з періодичними коефіцієнтами:

(6.45)

Крім того:

1. Для коефіцієнтів системи (6.45) виконано умови [68]:

,

при

2. Для початкових значень виконано умови

3. Частинні значення матриці коефіцієнтів

є періодичні з періодом , тобто

4. Елементи матриць є обмеженими, тобто

5. — малий параметр,

6. Випадковий процес є ергодичним. У даному випадку це означає, що нульовий розв’язок системи (6.45) є експоненціально стійким, тобто система рівнянь (6.45) має фундаментальну матрицю розв’язків , яка задовольняє умову:

(6.46)

Зауваження. Із умови (6.46) випливає існування періодичних функцій , таких що для будь-якого розв’язку системи (6.45) виконуються граничні співвідношення

Нехай — частинні щільності імовірності випадкового процесу

Тоді

(6.47)

— частинні математичні сподівання випадкового розв’язку

Для визначення (6.47) в [18; 68] виведено систему моментних рівнянь

(6.48)

Математичне сподівання випадкового розв’язку визначаємо так:

(6.49)

Ми пропонуємо чисельний метод побудови системи рівнянь для визначення (6.49):

та зниження її порядку.

Обгрунтування методу випливає з такої теореми [19; 39].

 Теорема. Якщо для фундаментальної матриці розв’язків системи (6.45) виконується умова (6.47), тоді існує додатне значення

де (6.50)

таке що при система рівнянь (6.48) має асимптотично стійкий при інтегральний многовид розв’язків:

де

(6.51)

При цьому матриці є -періодичним відносно t та аналітичні відносно

У частинному випадку в першому наближенні матриця має вигляд

На цій теоремі базується алгоритм чисельного дослідження стійкості розв’язків системи рівнянь (6.49).

Нехай система рівнянь (6.51) визначає інтегральний многовид розв’язків системи моментних рівнянь (6.48), який при притягає до себе всі останні розв’язки системи рівнянь (6.48).

Диференціюючи рівність (6.49), приходимо до матричного диференціального рівняння

(6.52)

Нехай — довільний інтегральний многовид розв’язків системи рівнянь (6.48) і (6.52). Матриці задовольняють систему матрично-диференці­альних рівнянь (6.52), і для них за умов (6.50) виконуються співвідношення:

Алгоритм знаходження матриці :

1. Вводимо параметри модельованої задачі.

2. Записуємо систему рівнянь (6.48), вважаючи що

3. Чисельно інтегруємо методом Рунче—Кутта матричне диференціальне рівняння (6.52) з довільним початковим значенням які задовольняють умову

4. Порівнюємо значення

Якщо виконується умова

,

тоді починаючи з моменту одночасно з інтегруванням системи рівнянь (6.52) обчислюється значення матриці

5. Покладаючи та інтегруючи рівняння (6.48) одночасно з рівнянням (6.52), знайдемо матрицю монодромії

6. Знайдемо власні числа матриці . Якщо вони за модулем менші від одиниці, тоді нульовий розв’язок системи (6.47) стійкий, у протилежному випадку — нестійкий.

Як приклад розглядаємо лінійне диференціальне рівняння

де — випадковий марковський періодичний процес, який набуває станів з імовірностями та задовольняє систему рівнянь

Складено програму мовою «Gw-BASIC» для ПЕОМ, яка реалізує запропонований алгоритм для цього прикладу.

Завдяки розв’язанню цієї задачі можуть бути вивчені властивості гіпотез та прогнозування в тих випадках, коли аналітичні методи не прийнятні або витрати на їх використання не окуповуються.

Враховуючи економічний зміст введених параметрів, ми залежно від їх кількісних значень можемо робити висновки щодо умов стійкості рівноваги в цінах.

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить