Операційне числення та його застосування
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 0.00 (0 Голоса)

Чисельне знаходження характеристичних показників у резонансному випадку

Далі викладається спосіб чисельного знаходження характеристичних показників розв’язків системи диференціальних рівнянь (6.11) у резонансному випадку при Запропонований спосіб ґрунтується на відшуканні близьких до кратних коренів аналітичної функції, що залежить від параметра Аналітична функція апроксимується поліномом деякого степеня, потім до здобутого полінома застосовуються результати першого розділу цієї праці для знаходження близьких один до одного коренів алгебраїчного рівняння, що залежить від параметра.

Нехай — аналітична функція на деякій компактній множині що належить розширеній комплексній площині, — раціональні функції з комплексними коефіцієнтами порядку, не вищого за Відхилення від позначимо через :

Для функції маємо різні оцінки.

Дж. Уолш [72] методами, що належать до інтерполяції раціональної функції з фіксованими полюсами, здобув загальний результат, що характеризує поведінку послідовності

Нехай аналітична в де — компакт у Æ. Справджується така нерівність Уолша [72]

(6.24)

де

— ємність конденсатора [87]:

,

— одиничні борелівські міри з носієм

Важливі результати, що характеризують поводження послідовності належать до конструктивних раціональних апроксимацій функції [82]. Досліди спираються на розв’язок деяких теоретико-потенційних проблем, серед яких розглядається задання рівноваги в зовнішньому полі на контурах, що мають пев­ні властивості симетрії. Аналіз таких задач дозволяє зробити висновок про швидкісну раціональну апроксимацію. Зокрема, для аналітичної функції, що має скінченну кількість розгалужень доведено існування границь [90]:

де — визначено в [6; 24].

Центральне місце в цих дослідженнях належить працям А. А. Гончара, Е. А. Рахманова, Дж. Натолла [87].

Нині крім конструктивних методів широко застосовується теорія Ганкелевих операторів [59]. Так, для випадку, коли — континуум зі зв’язним доповненням, доведено, що для довільного компакту функції аналітичної в — компакт в справджується нерівність

де — визначене в (6.24).

У праці [59] це твердження доведено для випадку, коли — довільний компакт. Крім того, досліджено випадок, коли функція, що апроксимується, має скінченну кількість істотно особливих точок, порядок яких нескінченний.

Наведені тут оцінки можна використовувати для визначення точності наближення поліномом деякого степеня аналітичної в де — компакт, функції.

6.2. Побудова апроксимуючого полінома за аналітичною функцією, заданою на межі круга радіуса

Здійснимо інтерполяцію аналітичної функції за близькими точками і знайдемо апроксимуючий поліном степеня

Корені многочлена будуть наближено визначати кілька коренів аналітичної функції За точки інтерполяції найбільш зручно, як показує практика обчислень, взяти точки кола радіуса За заданими обчислюються значення функції Обчислимо коефіцієнти многочлена Маємо

(6.25)

Помножимо кожне рівняння (6.25) на і додамо їх. Оскільки справджується рівність

то для коефіцієнтів дістанемо формули:

(6.26)

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить