Операційне числення та його застосування
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 0.00 (0 Голоса)

Усереднення в системах, що не зведені до стандартної форми

Розглянемо систему диференціальних рівнянь з періодичними коефіцієнтами

(5.7)

де

Припускаємо, що матриці задовольняють умови

Якщо достатньо мале, то при дослідженні системи виникає думка про усереднення коефіцієнтів системи за тобто про наближену заміну системи (5.7) усередненою за системою

(5.8)

де — диференціальні оператори;

За допомогою методу Хілла розв’яжемо питання про похибки при визначенні характеристичних показників. При дістанемо рівняння

(5.9)

Нехай — корінь цього рівняння.

Якщо виконується умова

(5.10)

то за методом Хілла знаходимо рівняння

(5.11)

Усереднюючи коефіцієнти системи (5.7) за , приходимо до системи лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами з характеристичним рівнянням

(5.12)

Порівняння (5.11) з (5.12) показує, що у випадку виконання умови (5.10), тобто коли в нульовому наближенні характеристичні показники різняться на величини, що відмінні від , рівняння для характеристичних показників (5.11) можна подати у вигляді

(5.13)

Зауваження. У працях [5, 6, 17,21, 29] можна ознайомитися з іншими шляхами асимптотичного перетворення систем.

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить