Операційне числення та його застосування
  • Регистрация
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 0.00 (0 Голоса)

МЕТОД ПЕРЕДАВАЛЬНОЇ ФУНКЦІЇ

Узагальнені функції

У математиці часто використовують узагальнені функції, які є границями неперервних і скільки завгодно разів дифереційовних функцій. На границі операції з цими функціями спрощуються.

Означення. Узагальненою функцією є d-функція Дірака, яку визначають співвідношенням

. (3.1)

Оскільки

, то .

Якщо функція неперервна і диференційовна в точці , то

. (3.2)

Диференціюючи це рівняння за t, дістаємо залежність

,

що дає змогу виражати похідні функції через похідні функції Дірака.

Функцію Хевісайда одиничного стрибка можна подати через d-функцію у вигляді

.

Зображення за Лапласом d-функції таке:

.

Звідси можна подати через обернене перетворення Лапласа:

.

Далі формально записуємо рівняння

; . (3.3)

Похідній узагальнених функцій відповідає зображення , яке не має оригіналів у звичайному розумінні, бо невласні інтеграли (3.3) розбіжні.

Розв’язок однорідного диференціального рівняння (3.3) має зображення (2.33)

, .

Тому розв’язок рівняння (2.31) можна подати через функцію (2.37):

. (3.4)

Приклад. Знайдемо розв’язок однорідного рівняння

, , , .

¨ Спочатку знаходимо функцію

.

Розв’язок однорідного рівняння із заданою початковою умовою набирає вигляду

Аналогічно можна включити початкові значення розв’язків рівнянь (2.34) у точці в неоднорідну частину і далі розглядати лише розв’язки з нульовими початковими умовами.

Нехай функція неперервна разом із похідними при і при , а в точці функція і її похідні мають розриви першого роду. При цьому можна взяти

. (3.5)

де — функція неперервна в точці разом із похідними будь-якого порядку.

Диференціюючи рівняння (2.44), дістаємо:

.

.

Якщо функція при і відомі початкові умови , , , ,

то

звідки дістаємо відповідні вирази для неоднорідної частини:

(3.6)

Підставивши цей вираз у формулу Коші (2.38), дістанемо частинні розв’язки однорідного рівняння (2.31) з початковими умовами (2.32):

(3.7)

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить