Операційне числення та його застосування
  • Регистрация
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 2.00 (2 Голоса)

Теорія лишків

Теорія лишків застосовується для обчислення інтегралів.

Контури на комплексній площині

Означення. Областю називається зв’язна відкрита множина. Контуром області називається межа області, тобто множина її граничних точок.

Звичайно розглядаються такі області, межі яких — це криві з неперервно змінюваною дотичною або такі, що складаються зі скінченної кількості кусків таких кривих.

Якщо в обмеженої області D контур С є одна замкнена крива, то область називається однозв’язною. Якщо контур складається з n кривих, то область називається n-зв’язною. Цю область можна перетворити на однозв’язну, виконавши n – 1 розрізів, що сполучають зовнішній контур із кожним із внутрішніх контурів
С1, С2… (рис. 1.6).

Рис. 1.6

Обхід контура області D називається додатним, якщо у процесі такого обходу відповідна область залишається ліворуч.

Означення. Область D разом із включеним до неї контуром С називається замкненою областю і позначається (тією самою буквою з рискою вгорі). Операція приєднання до області її контура називається замиканням.

Однозв’язність області D можна тлумачити так: будь-який замкнений контур у такій області неперервним деформуванням можна звести в точку. При цьому контур весь час лишається всередині області D.

Приклад. Область унаслідок замикання стає замкненою областю . Межею області є коло .

Означення. Функція називається регулярною в області D, якщо вона регулярна в кожній точці цієї області.
Функція називається регулярною в замкненій області , якщо вона регулярна в деякій відкритій області, що цілком містить область .

1.4.2. Інтегрування функцій
комплексного змінного

Нехай на комплексній площині z дано спрямлювану криву С, що йде від точки до точки , і на кривій задано функцію комплексного змінного , неперервну під час зміни на кривій С. Поділимо С на n частин проміжними точками , , , …, і на кожному відрізку кривої візьмемо довільну точку . Складемо далі інтегральну суму

(1.51)

Спрямуємо n до нескінченності, збільшуючи кількість точок поділу так, щоб .

Тоді права частина формули (1.51) має границю, а отже, і ліва частина цієї формули (1.51) має границю, причому таку, що не залежить від вибору . Ця границя називається інтегралом по кривій С від функції і позначається

. (1.52)

У формулі (1.52) можна визначити дійсну та уявну частини:

. (1.53)

Інтеграл по замкненому контуру С, що обмежує однозв’язну область, позначатимемо , якщо інтегрування виконується проти годинникової стрілки, та — , якщо інтегрування відбувається за годинниковою стрілкою.

Наведемо основні властивості криволінійного інтеграла:

1.  .

2.  , .

3.  Якщо крива С розбивається на частини С1, С2, то

.

4.  Зі зміною напряму інтегрування інтеграл змінює свій знак:

.

5.  Нехай на кривій С виконується нерівність

Тут — периметр ламаної, вписаної в криву С. Переходячи до границі при , дістаємо нерівність

. (1.54)

Для обчислення інтеграла можна використовувати параметрич­не задання кривої С у вигляді , . При цьому дістаємо рівняння

. (1.55)

Приклад. Обчислити значення інтеграла , де С — верхня частина півкола .

¨ Нехай , .

Тоді маємо:

Важливу роль відіграє теорема Коші.

Подпись: Теорема. Якщо функція регулярна в замкненій однозв’язній області , обмеженій контуром С, то

.

Доведення теореми випливає з того, що інтеграл від регулярної функції

не залежить від шляху інтегрування. Вирази

,

є повними диференціалами деяких функцій, а умови незалежності інтегралів від шляху інтегрування збігаються з рівняннями Коші—Римана:

, .

Розглянемо тепер випадок, коли функція регулярна і однозначна в замкненій многозв’язній області . Зробимо розрізи, як це показано на рис. 1.7, і перетворимо многозв’язну область на однозв’язну.

Рис. 1.7

Згідно з попередньою теоремою інтеграл по всьому контуру, включаючи розрізи, дорівнює нулю.

Інтеграли по розрізах взаємно знищуються, бо по кожному з них потрібно інтегрувати двічі у протилежних напрямах.

При цьому дістанемо рівність

,

або рівносильну рівність

, (1.56)

яка доводить наведені далі результат Коші.

Подпись:Теорема. Якщо функція регулярна і однозначна в замкненій многозв’язній області, то по зовнішньому контуру дорівнює сумі інтегралів по внутрішніх контурах.

Інтегрування всюди ведеться в додатному напрямі, коли область регулярності лишається під час обходу контура ліворуч, тобто проти годинникової стрілки.

Можна довести, що теорема Коші справджується також у випадку, коли функція регулярна всередині області D та неперервна в замкненій області , тобто має неперервне граничне значення при переході з області на контур С цієї області.

Розглянемо інтеграл зі змінною верхньою межею

. (1.57)

Якщо функція регулярна в області D і крива інтегрування лежить у цій області, то інтеграл (1.57) не залежить від шляху інтегрування, а лише від початкової точки і кінцевої точки . Тому

, (1.58)

де — первісна для функції .

Отже, інтеграл від регулярної функції дорівнює приросту первісної функції вздовж шляху інтегрування (1.58).

Формула (1.58) правильна й у випадку многозв’язної області, коли первісна є многозначною функцією. Під час застосування формули (1.58) потрібно брати приріст функції, стежачи за тим, щоб уздовж кривої інтегрування первісна була неперервною та регулярною.

Приклад. Маємо рівність

.

Нехай крива С інтегрування замкнена і оточує точку . Первісна набуває під час обходу точки приросту . Тому . Аналогічно

, (1.59)

де С — замкнений контур, що охоплює точку . Рівність (1.59) можна довести, упровадивши параметр t на колі . При цьому дістанемо:

.

Приклад. Якщо С — замкнений контур і точка лежить поза контуром, то за теоремою Коші

.

Якщо точка лежить всередині контура С і , то первісна для функції є однозначною і тому справджується рівність

(1.60)

Приклад. Обчислити за формулою (1.59) контурний інтеграл

.

1.4.3. Інтеграл Коші

Нехай — функція, регулярна в замкненій області . Нехай внутрішня точка області . Функція буде регулярною в всюди за винятком точки .

Виключемо окіл точки достатньо малого кола радіуса з центром у точці . В області між контуром області і контуром функція буде регулярною. Ця властивість зберігається й на контурах (рис. 1.8).

Рис. 1.8

За теоремою Коші (1.56) дістаємо рівність

.

Оцінимо значення інтеграла

.

Позначимо . Тоді

.

Інтеграл не залежить від , оскільки

.

Унаслідок неперервності функції маємо: якщо , то. Тому .

Отже, справджується формула Коші:

. (1.61)

Ця формула виражає значення регулярної функції у будь-якій точці області через її значення на контурі , якщо функція регулярна в замкненій області .

Якщо область многозв’язна, то формула (1.61) також справджується. При цьому під розуміємо інтеграл по всіх кривих, що становлять контур, за такої умови: відповідна область залишається ліворуч під час обходу всіх контурів. Позначивши змінну інтегрування через , запишемо формулу Коші у вигляді

. (1.62)

Зауважимо, що коли міститься поза контуром , то

.

Змінна входить у формулу (1.62) як параметр. Диференціюючи рівняння (1.62) за параметром , дістаємо формули для похідних регулярної функції :

,

, …,

. (1.63)

Здобутий результат сформулюємо у вигляді теореми.

Подпись: Теорема. Регулярна в області функція , неперервна в замкненій області , має в області похідні всіх порядків, які будуть регулярними в функціями. Вони виражаються через значення функції на контурі за формулами (1.63).

З формули Коші (1.62) випливає принцип модуля і теорема Ліувілля.

Теорема. Максимум модуля регулярної функції досягається на контурі, або, іншими словами, коли функція регулярна в замкненій області разом з її межею , то справджується нерівність

. (1.64)

Доведення. Нехай функція досягає максимуму у внутрішній точці . Згідно з (1.62) маємо

,

а далі при , , дістаємо оцінку:

.

Припущення про те, що максимум досягається у внутрішній точці області , призведе до суперечності, що доводить правильність теореми.

Подпись:Теорема Ліувілля. Якщо функція регулярна на всій комплексній площині й обмежена, то .

Доведення. Нехай при всіх значеннях . З формули (1.69) для маємо рівняння

,

де — коло радіуса із центром у точці . При маємо нерівність

.

При значення прямує до нуля, тобто . Але оскільки величина ( не залежить від R при будь-якому ), то .

З теореми Ліувілля маємо, що регулярна на всій комплексній площині функція , відмінна від сталої, неодмінно набуватиме як завгодно великих за модулем значень у деяких точках комплексної площини.

З формул (1.64) випливають нерівності Коші. Позначимо через М максимум модуля в області , через — довжину межі . З формул (1.64) випливає нерівність

, . (1.65)

Якщо функція регулярна в колі , то, беручи як область коло, дістаємо нерівність

, . (1.66)

Формулу Коші (1.62) можна застосовувати для розкладання регулярної функції у степеневий ряд. Нехай функція регулярна в колі . Маємо збіжний розклад:

. (1.67)

Помноживши обидві частини цього рівняння на і зінтегрувавши по колу , дістанемо розклад регулярної функції у ряд Тейлора:

.

Цей ряд збіжний при , а при збіжний абсолютно і рівномірно.

Аналогічно формулу Коші (1.62) можна застосувати для розкладання регулярної в кільці функції в ряд Лорана. При маємо вираз функції за формулою Коші:

. (1.68)

На контурі використовуємо розклад (1.67), а на контурі — розклад

(1.69)

Якщо , , виконується нерівність .

Якщо , , виконується нерівність (рис. 1.9).

Рис. 1.9

Тому ряд (1.67) збіжний рівномірно при , а ряд (1.69) збіжний рівномірно при , . Помноживши розклади (1.66), (1.69) на функцію та зінтегрувавши згідно з формулою (1.68), дістанемо розклади в ряд Лорана:

, (1.70)

де коефіцієнти округлюються за формулами

,

.

Ці формули можна об’єднати в одну:

. (1.71)

1.4.4. Обчислення лишків функції

Означення. Лишком регулярної функції в ізольованій особливій точці називається число

, (1.72)

де — коло достатньо малого радіуса . Розмір лишку не залежить від розміру при достатньо малих значеннях .

Якщо функція розкладається в ряд Лорана (1.70), збіжний при , то лишок функції дорівнює коефіцієн-
ту :

. (1.73)

Нехай функція має полюс порядку п, тобто має розклад у ряд Лорана в околі точки :

.

Помноживши це рівняння на і продиференціювавши разів за , дістанемо:

. (1.74)

Для полюсів першого порядку формула (1.74) набирає простого вигляду

. (1.75)

Якщо функція визначена як частка двох регулярних функцій і , , , то формула (1.75) спрощується:

. (1.76)

Застосування теорії лишків для обчислення інтегралів ґрунтується на теоремі Коші про лишки.

Подпись: Теорема. Нехай функція неперервна на межі С області D і регулярна всередині області D всюди, крім скінченної кількості точок а1, а2, …, аn. Тоді

. (1.77)

Наведемо приклад знаходження лишку функції.

Приклад. Розглянемо функцію

.

Раціональний дріб можна розкласти на найпростіші дроби:

.

Звідси маємо:

, .

Згідно з (1.76) дістаємо:

.

Скориставшись (1.74), дістанемо при :

.

Наведемо означення лишку функції в нескінченності. Нехай функція регулярна при як завгодно великих значеннях за винятком, можливо, точки . При цьому функція може бути розкладена в ряд Лорана за степенями та , який є збіжним при , де — достатньо велике число. Коефіцієнт у цьому розкладі називатимемо лишком у точці . При цьому маємо

, (1.78)

тобто інтегрування здійснюється по колу С достатньо великого радіуса за годинниковою стрілкою, коли область регулярності лишається ліворуч від контура С, тобто обхід контура відбувається в додатному напрямі. За такого означення лишку справджується теорема.

Подпись: Теорема. Нехай функція регулярна на всій комплексній площині, виключаючи скінченну кількість особливих точок. Тоді сума її лишків в усіх цих точках і в точці дорівнює нулю.

Іншими словами, сума лишків в особливих точках, розміщених на скінченній відстані, дорівнює лишку на , узятому з протилежним знаком.

Приклад. Розглянемо раціональну функцію

.

Оскільки , , то .

1.4.5. Логарифмічний лишок функції

Означення. Логарифмічним лишком регулярної функції в точці називається лишок її логарифмічної похідної

, (1.79)

Особливими точками функції будуть особливі точки та нулі функції .

Подпись: Теорема. Якщо в точці функція має нуль кратності , то функція має в точці полюс першого порядку з лишком, що дорівнює .

Якщо в точці функція має полюс кратності k, то функція має в точці полюс першого порядку з лишком, що дорівнює k.

Доведення. Якщо функція має в точці нуль кратності т, то

, .

При цьому дістаємо:

, .

Оскільки функція регулярна в точці , то

.

Нехай функція має в точці полюс порядку і набирає вигляду

, .

Тоді дістаємо рівняння

, ,

звідки випливає

.

Це доводить правильність теореми.

З попередньої теореми випливає теорема Коші про логарифмічний лишок.

Подпись: Теорема. Нехай регулярна функція має в області D скінченну кількість полюсів і нулів. Якщо функція не має на граничному контурі С ні нулів, ні полюсів, то інтеграл

дорівнює різниці між кількістю нулів і кількістю полюсів функції всередині контура С.

Кожен нуль і полюс ураховується стільки разів, яка його кратність.

За допомогою цієї теореми легко доводиться основна теорема алгебри.

Подпись:Теорема. Многочлен має рівно п коренів.

Доведення. Многочлен не має полюсів. Тому кількістю його нулів визначається інтеграл , де — коло достатньо великого радіуса із центром у точці . В околі точки маємо розклад

,

звідки

.

Отже, маємо рівняння

,

що й доводить основну теорему алгебри.

Геометричний зміст теореми про логарифмічний лишок розкриває така теорема.

Подпись:Теорема. Нехай регулярна функція має в області, обмеженій контуром С, скінченну кількість полюсів і нулів. На контура С немає ні полюсів, ні нулів функції . Тоді різниця між кількістю нулів і полюсів всередині контуру С дорівнює поділеному на приросту, що його набуває , коли здійснює повний обхід контура С.

Доведення теореми випливає з того, що

. (1.80)

Через позначимо приріст функції унаслідок обходу контура С.

Здобутий результат можна довести безпосередньо. Нехай точка z здійснює обхід у додатному напрямі навколо початку координат. При цьому набуває приросту (рис. 1.10).

Рис. 1.10

Аналогічно добуток

набуде приросту аргументу, що дорівнює , коли z обходить у додатному напрямі точки :

.

З таких самих міркувань дістаємо рівняння

,

якщо точка обходить точки , в додатному напрямі.

Зауваження. В теорії автоматичного регулювання застосовується критерій Михайлова для відшукання умов, за яких усі нулі многочлена

містяться в лівій площині .

Для цього необхідно і достатньо, щоб

, . (1.81)

Якщо многочлен має дійсні коефіцієнти, то умову (1.81) можна замінити умовою

, . (1.82)

Приклад. Розглянемо рівняння другого порядку

. (1.83)

Умови , необхідні і достатні для того, щоб

, ,

що можна зрозуміти з рис. 1.11.

Рис. 1.11

Умови , необхідні і достатні для того, щоб рівняння (1.83) мало корені з від’ємною дійсною частиною.

Наведемо ще теорему Руше, корисну в разі знаходження цілих коренів у заданій області.

Подпись: Теорема. Якщо функції , регулярні в замкненій області , обмеженій контуром С і на контурі С виконується нерівність

, (1.84)

то кількість нулів функції і всередині контура С однакова.

Доведення. З рівняння

випливає, що під час обходу контура С

,

оскільки .

Водночас , а тому значення функції містятьс в колі (рис. 1.12). Через це змінна w не може зробити обхід навколо початку координат.

Рис. 1.12

Приклад. Розглянемо алгебраїчне рівняння

. (1.85)

Оскільки при виконується нерівність , то рівняння і мають у колі однакову кількість коренів.

Рівняння має один корінь, тому й рівняння (1.85) також має в колі один корінь.

Обчислення інтегралів

Основною ідеєю обчислення інтегралів є зведення їх до інтегралів по замкненому контуру з подальшим застосуванням теореми про лишки.

Приклад. Обчислимо контурний інтеграл

.

¨ В колі міститься одна особлива точка . Оскільки

,

то

.

Розглянемо деякі типи інтегралів.

1. Інтеграл від періодичної функції

Інтеграл виду

зводиться до інтеграла виду

заміною .

Приклад. Обчислити інтеграл

.

¨ Заміна перетворює даний інтеграл так:

.

Усередині кола підінтегральна функція має в точці один полюс другого порядку з лишком

.

Звідси знаходимо значення інтеграла

.

Приклад. Обчислимо інтеграл Валліса:

2. Інтеграли по нескінченному інтервалу

Розглянемо замкнений контур (рис. 1.13), що складається з півкола із центром у початку координат і радіусом та відріз­ка дійсної осі .

Рис. 1.13

Подпись:Теорема. Нехай функція регулярна у верхній півплощині за винятком скінченної кількості особливих точок, розміщених у півплощині . Якщо рівномірно за при виконується рівність

, (1.86)

то справджується таке співвідношення:

.

Доведення випливає з того, що

.

Позначивши головне значення інтеграла скорочено як V. P., дістанемо:

. (1.87)

Приклад. Знайти значення невласного інтеграла

.

¨ Функція має у верхній півплощині єдиний полюс із лишком

Тому маємо рівність

.

Приклад. Обчислимо невласний інтеграл:

.

Часто застосовується лема К. Жордана.

Подпись:Лема. Нехай функція регулярна в півплощині за винятком скінченної кількості особливих точок. Якщо функція прямує до нуля на дузі кола , , рівномірно за , то при (рис. 1.14)

. (1.88)

Рис. 1.14

Доведення. Позначимо

, .

Маємо оцінку

,

з якої випливає, що інтеграл по дузі АВ прямує до нуля при , оскільки величина обмежена. При маємо , а тому справджується нерівність.

Звідси випливає, що

.

Лему Жордана доведено для правої половини дуги півкола , але очевидно, що вона виконується і для лівої половини кола . Лему доведено.

Приклад. Обчислимо значення невласного інтеграла

Зауваження. Лему Жордана можна узагальнити на випадок з нескінченною кількістю особливих точок. Якщо функція прямує до нуля на послідовності дуг кіл , , рівномірно за , то при

. (1.89)

Застосуємо цей висновок для додавання функцій. Нехай потрібно знайти суму ряду

. (1.90)

який вважаємо абсолютно збіжним. Використовуємо функцію . Ця функція має особливі точки: 1) полюси котангенса при з лишками, що дорівнюють ; 2) точки, які є особливими для функції . Припускаємо, що особливі точки не збігаються з точками . Розглянемо послідовність кіл , таких що при (рис. 1.15).

Рис. 1.15

Запишемо інтеграл

,

припустивши, що він прямує до нуля при . Інтеграл дорівнює сумі лишків в усіх особливих точках функції . Отже, сума ряду (1.90) дорівнює сумі взятих з протилежним знаком лишків функції у точках, які є особливими для функції .

Приклад. Знайти суму ряду

, , .

¨ Лишки функції в точках такі:

.

Звідси

.

Унаслідок заміни а на дістаємо розклад

.

3. Інтеграл від многозначних функцій

Для обчислення інтеграла від многозначної функції виконують додаткові розрізи області так, щоб інтегрована функція була однозначною в області з розрізами.

Приклад. Обчислити значення інтеграла Ейлера

.

¨ Функція є многозначною і внаслідок обходу початку координат набуває значення

.

Обчислимо інтеграл по контуру, зображеному на рис. 1.16.

Рис. 1.16

Єдина особлива точка — це . Отже, маємо:

, .

Якщо і , виконуються співвідношення

, .

Тому остаточно дістаємо:

, .

4. Інтеграл від функції з особливими
точками на шляху інтегрування

Якщо на шляху інтегрування містяться особливі точки, то звичайно їх обходять по нескінченно малих колах.

Приклад. Знайти значення інтеграла Ейлера

.

¨ Візьмемо допоміжну функцію . Контур інтегрування оберемо так, як це зображено на рис. 1.17.

Рис. 1.17

Точка є особливою для функції .

Згідно з теоремою Коші інтеграл по замкненому контуру дорівнює нулю:

.

Нехай , . За лемою Жордана

.

Обчислимо інтеграл по , розклавши у ряд Лорана в околі точки :

,

де — регулярна функція в околі точки .

Далі маємо:

.

Отже,

.

Записуємо рівняння

,

з якого знаходимо значення інтеграла

. (1.91)

Подання функцій контурними інтегралами

В основу операційного числення покладено використання контурних інтегралів. Знайдемо спочатку значення невласного інтеграла

, , (1.92)

де — комплексна змінна, яка за традицією використовується в операційному численні. Лема Жордана при формулюється так.

Подпись: Лема. Якщо при , функція
рівномірно відносно прямує до нуля на колі (рис. 1.18):

, (1.93)

то при виконується співвідношення

. (1.94)

Рис. 1.18

Замінюючи на , дістаємо, що за умови

при виконується аналогічне до (1.94) співвідношення:

. (1.95)

При , знаходимо значення інтеграла:

.

Тому при маємо

.

Якщо , , аналогічно дістаємо:

.

При знаходимо

, .

При маємо:

Остаточно дістаємо подання функції Хевісайда:

(1.96)

Приклад. Подамо ступінчасту фігуру (рис. 1.19) за допомогою невласного інтеграла

Рис. 1.19

Скориставшись функцією Хевісайда (1.96), дістанемо аналітичне подання

.

На основі (1.96) можна вивести формули перетворення Лапласа.

Означення. Нехай функція дійсного аргументу задовольняє такі умови:

1.  Функція неперервна разом із її похідними достатнього високого порядку на всій півосі , крім окремих точок, де
функція та її похідні мають розриви першого роду. На кожному скінченному інтервалі таких точок маємо лише скінченну кількість.

2.  При .

3.  Функція зростає не швидше, ніж деяка показникова функція, тобто існують сталі і , такі що при

.

Тоді функція називається оригіналом.

Число називають показником зростання функції .

Подамо наближено оригінал при з допомогою ступінчастих функцій

,

де — точка розбиття відрізка , . За допомогою формули (1.96) можемо записати:

.

У границі при , дістаємо інтегральне подання функції :

. (1.97)

Спрямувавши до і позначивши через

(1.98)

зображення функції y(t) за Лапласом, дістанемо вираз оригіналу через зображення:

. (1.99)

Наведемо без доведення відомі результати [52].

Подпись: Теорема. Якщо функція є оригіналом і — її зображення, то в будь-якій точці неперервності

.

Подпись:Теорема. Оригінал повністю визначається своїм зображенням з точністю до значень у точках розриву .

Подпись:Теорема. Якщо функція регулярна в півплощині і прямує до нуля при в будь-якій півплощині рівномірно відносно , а інтеграл

абсолютно збіжний, то є зображенням функції

.

Властивості перетворення Лапласа докладно розглядаються в наступному розділі.

Теорія лишків - 2.0 out of 5 based on 2 votes

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить