Операційне числення та його застосування
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 0.00 (0 Голоса)

Стійкість розв’язків лінійних диференціальних рівнянь другого порядку із синусоїдальними коефіцієнтами

1. Розглянемо диференціальне рівняння виду

(4.66)

, — дійсні сталі.

Шукаємо розв’язок рівняння (4.66) у вигляді ряду

(4.67)

Підставляючи (4.67) в (4.66) і прирівнюючи коефіцієнти при дістаємо співвідношення між коефіцієнтами :

(4.68)

де

(4.69)

Введемо два неперервні функціональні дроби:

(4.70)

які збігаються, якщо виконано умову:

Після перетворень, виражаючи через і при у співвідношенні (4.68), з урахуванням (4.70) дістаємо рівняння

яке можна застосовувати для знаходження характеристичних показників

Приклад. Знайти характеристичні показники розв’язків рівняння:

(4.71)

· У наших позначеннях:

Тоді рівняння (4.71) набирає вигляду:

(4.72)

Узявши дістанемо із (4.72) і .

Рівняння (4.71) особливо зручне для знаходження межі нульової області нестійкості, де один із характеристичних показників дорівнює 0. Отже, є рівнянням межі нульової області нестійкості.

Для розв’язки рівняння (4.66) стійкі при і нестійкі при . Величина неперервно залежить від і і може перетворюватися на 0 лише на межі області нестійкості.

Звідси, маємо теорему:

 Теорема. Нехай в рівнянні (4.66) величини достатньо малі. Розв’язки рівняння (4.66) стійкі, якщо і нестійкі, якщо

Приклад. Знайдемо межу нульової області нестійкості розв’язків диференціального рівняння:

(4.73)

· Із (4.69) дістаємо:

Оскільки то розв’язки рівняння (4.73) стійкі при і нестійкі при якщо величини достатньо малі.

2. Коли намагаються поширити теорему на випадок меж інших областей нестійкості, то стикаються з труднощами, оскільки при

(4.74)

і будь-якому функція не залежить неперервно від

Для цього випадку доведено теорему:

 Теорема. Якщо достатньо мала, то в резонансному випадку, коли і задовольняють умовам (4.74), характеристичні показники і розв’язків рівняння (4.66), близькі до значення , і є коренями рівняння

де

(4.75)

3. На межі області нестійкості у просторі параметрів , які задовольняють умови (4.74), існує періодичний розв’язок, тобто Тому межа -ї області нестійкості може описуватися рівнянням

(4.76)

Приклад. Знайти рівняння межі другої області нестійкості розв’язків диференціального рівняння

· Маємо

Безпосередньо переконуємось, що рівняння (4.76) набирає вигляду

(4.77)

Із (4.77) дістанемо рівняння межі виродженої області нестійкості, що розв’язане відносно

Введемо позначення

(4.78)

Після підставляння в (4.75) значення дістанемо в обох частинах рівняння добуток двох комплексно-спряжених множників Остаточно рівняння межі -ї області нестійкості в позначеннях (4.78) набирає вигляду:

(4.79)

 Теорема. Нехай параметри рівняння (4.66) задовольняють умову (4.74), де — достатньо мале. Тоді

1)  якщо то розв’язки рівняння (4.66) асимптотично стійкі;

2)  якщо то розв’язки рівняння (4.66) нестійкі;

3)  якщо то розв’язки рівняння (4.66) стійкі; існує періодичний або напівперіодичний розв’язок періоду

4)  якщо то розв’язки рівняння (4.66) стійкі і є майже періодичними функціями;

5)  якщо то розв’язки рівняння (4.66) нестійкі і мають вигляд де періодичні функції періоду

6)  якщо то розв’язки рівняння (4.66) стійкі, існують два періодичні або напівперіодичні розв’язки періоду

Приклад. Дослідити на стійкість розв’язки диференціального рівняння

(4.80)

при

· В цьому прикладі маємо:

Величини набирають вигляду:

Отже, Із умови 2 теореми маємо, що розв’язки рівняння (4.80) нестійкі.

4. Розглянемо питання про виродження області нестійкості рівняння (4.66) на площині параметрів і лінію, на якій існують періодичні або напівперіодичні розв’язки рівняння (4.66). Із теореми випливає, що в цьому разі виконуються її умови 6.

Функція має бути дійсною, щоб вибором величину можна було перетворити на 0. Із (4.78) маємо, що може стати нулем, якщо

(4.81)

Вираз не залежить від і містить множником, тому згідно з (4.81) в рівняння

має бути один з коренів виду

(4.82)

Справджується теорема.

 Теорема. Для того щоб область нестійкості розв’язків рівняння (4.66) при що задовольняють умови (4.74), вироджувалась у лінію, необхідно і достатньо, щоб

і рівняння (4.81) мало один з коренів виду (4.82).

Розглянемо рівняння відносно :

(4.83)

Із теореми маємо, що для виродження областей нестійкості рівняння (4.66) в лінію необхідно, щоб рівняння (4.83) мало цілий корінь

При а при , тобто

Дістали інше формулювання теореми.

 Теорема. Для того, щоб області нестійкості розв’язків рівняння (4.66) вироджувались у лінію, необхідно і достатньо, щоб а рівняння (4.83) мало цілий корінь При цьому області нестійкості вироджуються через одну, починаючи з номера

Приклад. Розглянемо диференціальне рівняння

(4.84)

Тоді рівняння (4.83) має вигляд

Його корені Звідси маємо, що всі області нестійкості розв’язків рівняння (4.84), за винятком нульової та першої областей, вироджуються в лінії.

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить