Операційне числення та його застосування
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 0.00 (0 Голоса)

Ризик комбінаційних резонансів

1. Розглянемо систему диференціальних рівнянь

(4.101)

Тут т-вимірний вектор — дійсні параметри, — діагональна матриця,

Системами виду (4.101) описуються механічні процеси при моделюванні. (Їх відносять до так званого класу , тобто систем, характеристичні показники яких розміщуються симетрично відносно уявної осі).

Частинним випадком систем класу є зворотні системи. Характеристичні показники системи (4.101) визначено з точністю до доданків При вони мають вигляд

Характеристичні показники розміщені на комплексній площині симетрично відносно дійсної осі. Вони неперервно змінюють своє положення під час неперервної зміни параметрів Нульовий розв’язок системи (4.101) класу не може бути асимптотично стійким при Якщо (4.101) має необмежений розв’язок виду

то існує розв’язок виду

З наближенням параметрів до межі області нестійкості характеристичні показники наближаються до уявної осі. Вони збігаються, коли точка параметрів виходить на межу області нестійкості. Звідси маємо, що рівняння межі області нестійкості системи (4.101) класу можна дістати з умови кратності характеристичних показників. При умова збігу характеристичних показників має вигляд

(4.102)

Якщо резонанс називається простим, якщо резонас називається комбінаційним [54].

Питання про стійкість системи (4.101) розв’язуються лише резонуючими показниками близькими до при малих Області нестійкості системи класу можна знайти з умови На самій межі область нестійкості розв’язків.

Введемо необхідні означення.

Означення. Частоту назвемо сильно стійкою (нестійкою), якщо при довільних, але достатньо малих змінних матрицях розв’язки (4.101) будуть стійкими (нестійкими) при всіх , що задовольняють умову

Розглянемо комбінаційний резонанс при частотах близьких до резонансної частоти

(4.103)

Тільки зліченна кількість резонансних частот, а точніше частоти виду (4.103), можуть не бути сильно стійкими.

До сильно нестійкої резонансної частоти буде прилягати широка область нестійкості.

Шукаємо розв’язок (4.101) у вигляді ряду

. (4.104)

Підставляючи (4.103) в (4.101) і прирівнюючи коефіцієнти при різних експонентах нулю, знаходимо нескінченну систему лінійних алгебраїчних рівнянь:

(4.105)

Перейдемо від (4.104) до скалярного запису.

Введемо позначення

Рівняння (4.105) набере вигляду

(4.106)

При даному співвідношення (4.103) виконується лише для одного набору чисел Урахувавши це, дістанемо з (4.106) систему рівнянь, з якої знайдемо умову існування її ненульового розв’язку:

(4.107)

де

(4.108)

Рівняння (4.107) дозволяє визначити характеристичні показники, близькі до , в області

Якщо в (4.107), (4.108)

,

то з точністю до нескінченно малих рівняння (4.107) набере вигляду

Рівняння (4.109) має розв’язок

де

Для системи (4.101) класу без тертя корені мають бути симетрично розміщені відносно дійсної осі, тому підкореневий вираз має дорівнювати 0.

Звідси маємо рівняння межі області нестійкості

Для системи рівнянь (4.101) збурення матриці окремо не викликають ні сильної стійкості, ні сильної нестійкості, а в разі спільної дії можуть призвести як до того, так і до іншого.

2. Розглянемо стійкість рівнянь класу із тертям. Розв’язки системи рівнянь (4.101) можуть бути нестійкими при якщо

(4.110)

за умови

(4.111)

Відповідна нерівності (4.110) нерівність (4.111) має вигляд

де

(4.112)

Підкореневий вираз у (4.112) при малих може бути як завгодно великим.

Розширення області нестійкості можливе лише при тобто у випадку комбінаційного резонансу. Саме розширення відбувається за рахунок зміни відношення між і Якщо тобто розв’язки системи (4.101) тертя сильно стійкі, то вони залишаються сильно стійкими і в разі введення тертя.

Подпись: Теорема. Якщо в системі (4.101) класу з додатно визначеною діагональною матрицею до деякої частоти прилягає широка область нестійкості

то із введенням тертя межі області нестійкості на площині параметрів набирають вигляду

Подпись: Теорема. Якщо в системі рівнянь (4.101) класу з додатно визначеною матрицею

1) деяка частота сильно стійка, то із введенням достатньо малого тертя вона залишається сильно стійкою;

2) деяка комбінаційна частота сильно нестійка, то введення тертя завжди може призвести до розширення області нестійкості при достатньо малих

Ця теорема засвідчує існування особливого ризику комбінаційних резонансів, бо в реальних системах завжди присутнє мале тертя.

Наведені методи розв’язування поставлених задач, що ґрунтуються на безпосередньому застосуванні перетворення Лапласа, по-новому висвітлили проблему комбінаційних резонансів.

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить