Операційне числення та його застосування
  • Регистрация
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 0.00 (0 Голоса)

Про один підхід до дослідження лінійних різницевих рівнянь з випадковими коефіцієнтами

Розглянемо систему лінійних різницевих рівнянь

, (6.27)

де — матриця, що залежить від випадкового процесу — малий параметр.

Ставиться задача побудови системи різницевих рівнянь для математичного сподівання випадкового розв’язку системи рівнянь (6.27).

Алгоритм побудови.

Крок 1. Випадковий розв’язок відшукується у вигляді асимптотичного розкладу за степенями параметра m:

(6.28)

де — математичне сподівання вектора . При цьому виконуються умови

(6.29)

Крок 2. Шукаємо систему різницевих рівнянь, яку задовольняє вектор

(6.30)

Крок 3. Підставимо розклад (6.28), (6.30) у систему різницевих рівнянь (6.27). Дістанемо систему рівнянь

Крок 4. Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях параметра m, дістанемо нескінченну систему лінійних матричних різницевих рівнянь:

(6.31)

Крок 5. Із системи рівнянь (6.31) усереднюючи за ймовірністю обидві частини рівнянь, знаходимо матриці

(6.32)

Вважаючи , з першого рівняння системи (6.31) знаходимо

Тоді

(6.33)

Аналогічно обчислюємо матриці

Якщо — випадковий процес, що набуває скінченної кількості значень , то обчислення математичного сподівання зводитися до обчислення деяких сум.

Нехай відомі ймовірності розподілу значень випадкового процесу

Тоді матриці можна знайти за формулами:

(6.34)

Наведемо деякі розрахункові формули для обчислення математичного сподівання у випадку коли — скінченнозначний марковський ланцюг, що набуває значень імовірностями що задовольняє систему різницевих рівнянь

(6.35)

Згідно з [68] введемо в розгляд фундаментальну матрицю розв’язків системи різницевих рівнянь (6.35):

При цьому передбачаємо

Елементи матриці позначаємо через

Для марковського випадкового ланцюга маємо перехідні ймовірності:

Тому за умови можемо обчислити спільні розподіли за формулою

.

Для функції від випадкового процесу формула для обчислення математичного сподівання буде мати вигляд

(6.36)

де

Формулу (6.36) можна записати в матричній формі, якщо ввести допоміжну діагональну матрицю

і вектор

(6.37)

Дослідження стійкості в середньому розв’язку лінійного різницевого рівняння першого порядку.

Розглянемо лінійне різницеве рівняння першого порядку

(6.38)

де випадковий процес набуває трьох значень з імовірностями , що задовольняють систему рівнянь:

де

Візьмемо

і знайдемо функцію від матриці П [37]:

де введено позначення для власних чисел матриці А:

Розв’язок рівняння (6.38) шукаємо у вигляді

де задовольняє детерміноване різницеве рівняння

(6.39)

Введемо значення випадкової функції і початкові ймовірності

За формулами (6.32) з урахуванням (6.37) знаходимо:

З різницевого рівняння

маємо при вираз для функції

.

Тоді

(6.40)

де

Обчислимо суму

(6.41)

Підставивши вираз (6.41) у (6.40) і виконавши елементарні матричні перетворення з урахуванням того, що дістанемо

,

або в явному вигляді:

де

Різницеве рівняння (6.39) при цьому набирає вигляду

(6.42)

З рівняння (6.42) маємо, що нульовий розв’язок рівняння (6.38) буде стійким у середньому, якщо виконується умова при досить малих

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить