Операційне числення та його застосування
  • Регистрация
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 0.00 (0 Голоса)

Подання регулярних функцій рядами

Регулярні функції подають, здебільшого, у вигляді рядів, членами яких є простіші регулярні функції.

Ряд із комплексними членами

Означення. Ряд із комплексними членами

, (1.20)

де — комплексні числа, називається збіжним, якщо існує границя частинних сум ряду

, . (1.21)

Якщо ряд збіжний, то число S називається сумою ряду.

Для того щоб ряд із комплексними членами (1.20) був збіжним, необхідно і достатньо, щоб були збіжними ряди, утворені окремо з дійсних і уявних частин членів даного ряду:

,

і водночас виконувалась рівність

.

Означення. Якщо ряд

,

складений із модулів членів ряду (1.20) збіжний, то ряд (1.20) також збіжний і називається абсолютно збіжним.

Два абсолютно збіжні ряди , можна перемножувати за формулою

.

При цьому утворений у добутку ряд

збіжний абсолютно і його сума .

Приклад. Показникова функція визначається абсолютно збіжним рядом

.

Знайдемо добуток абсолютно збіжних рядів

,

звідки дістанемо найважливішу властивість показникової функції:

.

Ряд із функціональними членами

Розглянемо ряд, членами якого є функції від комплексного змінного z:

. (1.22)

Означення. Ряд (1.22) називається збіжним в області В, якщо він збіжний у кожній точці цієї області. Границя

називається сумою ряду. Область В називається областю збіжності функціонального ряду (1.22). Якщо при будь-яких значеннях ряд із дійсними членами

збіжний, то ряд (1.22) називається абсолютно збіжним у В.

Означення. Нехай — сума збіжного ряду (1.22). Ряд

називається залишком цього ряду. Якщо залишок ряду рівномірно при прямує до нуля, тобто

,

то говорять, що функціональний ряд (1.22) збігається рівномірно. Для дослідження рівномірної збіжності часто застосовують ознаку Вейєрштрасса, яка формулюється у вигляді такої теореми.

Подпись: Теорема. Якщо при виконано такі умови:

, ряд — збіжний,

то функціональний ряд (1.22) є абсолютно і рівномірно збіжним в області В.

Ряд називається мажорантним для ряду (1.22).

Приклад. Розглянемо геометричну прогресію

. (1.23)

В області цей ряд мажорується збіжним рядом , а тому при ряд (1.23) збіжний абсолютно і рівномірно.

Наведемо важливі результати про рівномірно збіжні функціональні ряди.

Теорема. Якщо ряд (1.22) рівномірно збіжний в області В (або на кривій С) і члени його — неперервні функції, то сума цього ряду неперервна в області В (на кривій С).

Подпись: Теорема. Якщо ряд (1.22) рівномірно збіжний на кривій С і члени ряду — неперервні на С функції, то ряд (1.22) можна почленно інтегрувати за кривою С:

.

Перш ніж сформулювати наступну теорему, зазначимо, що функція називається регулярною в замкненій області , якщо функція регулярна в деякій відкритій області D, що містить замкнену область .

Подпись: Теорема (Вейєрштрасса). Якщо члени ряду (1.22) — регулярні функції в замкненій (такій, що містить відповідний контур С) області і якщо на кривій С ряд (1.22) рів­номірно збіжний, то цей ряд рівномірно збіжний в області і сума ряду — функція регулярна в області В. Всередині області В ряд (1.22) можна почленно диференціювати скільки завгодно разів.

Приклад. Розглянемо степеневий ряд

. (1.24)

Якщо ряд

,

збіжний, то степеневий ряд (1.24) при збіжний рівномір­но, а при сума його регулярна і цей ряд можна поч­ленно диференціювати скільки завгодно разів.

Степеневі ряди

Важливу роль у теорії регулярних функцій відіграють степеневі ряди виду

, (1.25)

де — сталі коефіцієнти. Збіжність степеневих рядів визначає перша теорема Абеля.

Теорема. Якщо ряд (1.25) збіжний при деякому , то він абсолютно збіжний при .

Із цієї теореми випливає, що в загальному випадку існує число R, таке що степеневий ряд (1.25) збіжний при і розбіжний при . Число R називається радіусом збіжності. Круг називається кругом збіжності, а відповідне коло — колом збіжності.

Зокрема, може бути , коли степеневий ряд збіжний при всіх значеннях z, або , коли степеневий ряд розбіжний при .

Приклад. Степеневий ряд

збіжний при і розбіжний при .

Збіжність на межі круга збіжності залежить від додаткових обставин.

Нехай ряд (1.25) збіжний у деяких точках на межі круга збіжності. У цьому разі для знаходження суми ряду можна застосувати другу теорему Абеля.

Подпись: Теорема. Нехай степеневий ряд (1.25) збігається на межі круга збіжності до значення . Тоді існує границя

,

де — сума ряду всередині круга збіжності, а на радіусі кола збіжності.

Приклад. Розглянемо степеневий ряд

,

який має круг збіжності . На межі круга збіжності маємо рівність

.

Якщо , знаходимо:

Згідно з другою теоремою Абеля маємо рівняння

Дії зі степеневими рядами

Нехай степеневий ряд (1.25) має радіус збіжності R і збіжний при . Наведемо деякі результати.

Подпись: Теорема. Якщо замкнена область лежить усередині круга збіжності, то степеневий ряд (1.25) збігається рівномірно в .

Теорема. Сума степеневого ряду є регулярна функція всередині круга збіжності.

Теорема. Степеневий ряд можна диференціювати та інтегрувати почленно скільки завгодно разів. Круг збіжності при цьому не змінюється.

Зауважимо, що на межі круга збіжності збіжність степеневого ряду може змінюватися у процесі диференціювання та інтегрування.

Приклад. Степеневий ряд

має радіус збіжності . На колі степеневий ряд збігається при . Диференціюючи рівність, дістаємо степеневий ряд

,

який є розбіжним при . У результаті інтегрування дістаємо степеневий ряд

,

який збігається рівномірно на колі .

Степеневі ряди можна додавати, перемножувати, підставляти один ряд у інший, обертати.

Наведемо приклади дій із рядами.

Приклад. Нехай маємо розклади регулярних функцій у степеневі ряди:

.

Знаходимо розклад, що відповідає такому добутку:

Приклад. Знайдемо розклад у степеневий ряд функції

.

З рівності

знаходимо рівняння для невідомих коефіцієнтів :

, ;

, ;

, .

Остаточно маємо перші члени розкладу:

.

Приклад. Розкладемо у степеневий ряд таку функцію:

Приклад. Розклад у степеневий ряд таку функцію:

Наведемо деякі відомі результати про обернення регулярних функцій.

Розглянемо в околі точки рівняння відносно z:

, . (1.26)

Припускаючи, що , дістаємо розклад у степеневий ряд:

, . (1.27)

Розклад (1.27) називається рядом Лагранжа.

Якщо виконуються рівності

, , …, , ,

то розкладається за дробовими степенями :

. (1.28)

.

Приклад. Розв’язати відносно z таке рівняння:

.

¨ Із (1.27) дістаємо , ,

.

Далі записуємо розклад z за степенями w:

.

Радіус збіжності ряду дорівнює .

У процесі розв’язування рівняння

(1.29)

ряд (1.27) набирає вигляду

(1.30)

і називається рядом Лагранжа [80].

Приклад. Розв’язати відносно z таке рівняння:

.

З формули (1.30) знаходимо розклад z у степеневий ряд за степенями w:

, .

Особливі точки регулярних функцій

Розглянемо функцію , регулярну і однозначну в околі точки , за винятком самої тільки точки . У такому разі точка а називається ізольованою особливою точкою функції . Якщо функція обмежена в околі ізольованої особливої точки, то така точка є усувною особливою точкою і існує границя

.

Приклад. Точка є усувною особливою точкою для функції та існує границя .

Якщо особлива точка неусувна, то функція необмежена в як завгодно малому околі точки .

Означення. Ізольована особлива точка однозначної регулярної функції називається полюсом, якщо

.

Полюс має порядок m, якщо можна подати функцію у вигляді

, ,

де — регулярна однозначна функція в точці .

В околі полюса регулярна функція подається розкладом:

. (1.31)

Означення. Ізольована особлива точка однозначної регулярної функції називається істотно особливою, якщо в деякому околі точки функція необмежена, але не можна стверджувати, що , якщо прямує до а будь-яким чином. При цьому залежить від шляху, яким прямує до а.

Приклад. Функція має істотно особливу точку . Справді, при

, .

Складність поводження регулярної функції в околі істотно особливої точки відбиває теорема Пікара.

Подпись: Теорема. Рівняння для будь-якого с, крім, можливо, одного значення має поблизу ізольованої істотно особливої точки нескінченну множину коренів, що прямують до точки .

Приклад. Для функції таким винятковим значенням с є значення с = 0. Якщо , отримаємо рівняння , тобто

, .

Аналогічне твердження подається теоремою Вейєрштрасса.

Теорема. Регулярна функція у як завгодно малому околі своєї ізольованої істотно особливої точки набуває значень, як завгодно близьких до будь-якого наперед заданого числа с.

В околі ізольованої істотно особливої точки регулярна однозначна функція подається рядом Лорана:

. (1.32)

Неізольовані особливі точки можуть бути, наприклад, точками ущільнення полюсів. Особливі точки можуть суцільно заповнювати лінії. Таких складних випадків ми тут не розглядатимемо. Спинимося на точках розгалуження багатозначних функцій.

Нехай функція диференційовна і неперервна в околі деякої точки , але внаслідок будь-якого обходу навколо точки функція не повертається до початкового значення, а набуває нових значень. Це означає, що функція є багатозначною, а точка — особлива точка, яка називається точкою розгалуження. Наприклад, функція має точку розгалуження і після обходу точки змінює свій знак. Функція має точку розгалуження і після обходу точки набуває приросту . Функція має точку розгалуження і набуває в околі цієї точки k різних значень. Точ­ки розгалуження іноді мають властивості полюса, як, скажімо, у, функції , або властивості істотно особливої точки, як, наприклад, у функції .

Ряд Тейлора

Сума степеневого ряду є регулярною функцією всередині кола збіжності. Справджується й обернене твердження.

Подпись: Теорема. Якщо функція регулярна у крузі , то вона розкладається в ньому у збіжний степеневий ряд за цілими додатніми степенями :

, (1.33)

причому єдиним чином.

Теорема. Якщо функція регулярна в колі і обмежена в ньому:

,

то для коефіцієнтів ряду Тейлора справджується оцінка

. (1.34)

Радіус R кола збіжності визначається на підставі такої теореми:

Подпись: Теорема. На межі круга збіжності ряду Тейлора регулярної функції міститься хоча б одна особлива точка цієї функції.

Радіус збіжності ряду Тейлора дорівнює відстані від а до найближчої особливої точки функції .

Приклад. Розглянемо розклад у ряд бінома Ньютона:

(1.35)

Цей розклад справджується для будь-якого m. Якщо m — ціле додатне число, то ряд обірветься і біном складатиметься зі скінченної кількості членів.

У загальному випадку функція має особливу точку і радіус збіжності (рис. 1.4).

Рис. 1.4

Приклад. З розкладу бінома Ньютона (1.35) дістанемо розклад у степеневий ряд:

.

Інтегруючи обидві частини цього рівняння, дістаємо:

. (1.36)

Аналогічно знаходимо розклад у степеневий ряд:

,

. (1.37)

Для функції маємо такий розклад:

. (1.38)

Степеневі ряди (1.36)—(1.38) мають радіус збіжності , оскільки на колі є особливі точки функцій, що розкладаються в ряд.

Приклад. Кожна з наведених далі функцій розкладається в ряд

,

,

(1.39)

із нескінченним радіусом збіжності, оскільки не має особливих точок на скінченній відстані від точки . Для них істотно особливою точкою буде точка .

Ряд Лорана

Означення. Рядом Лорана функції називається її розклад у ряд за цілими додатними та від’ємними степенями :

. (1.40)

Областю збіжності ряду (1.40) є кільце між двома колами із центром у точці . Числа і називаються відповідно внутрішнім і зовнішнім радіусом збіжності ряду Лорана.

Ряд називається регулярною, або правильною, частиною ряду Лорана, а ряд називається його голов­ною, або нескінченною, частиною. Ряд (1.40) збігається рівномірно в усякій замкненій області, цілком розташованій у кільці .

Ряд Лорана можна скільки завгодно разів почленно диференціювати та інтегрувати, не змінюючи області його збіжності. Іноді внутрішній радіус збіжності дорівнює нулю, тобто областю збіжності є коло з вилученою центральною точкою.

При цьому коефіцієнт при називається лишком функції у точці .

Будь-яка регулярна в кільці функція єдиним чином може бути розкладена в ряд Лорана (1.20). На межах , кільця збіжності неодмінно існують особливі точки функції .

Приклад. Розкласти в ряд Лорана функцію

у кільці (рис. 1.5).

¨ Розкладаємо w на найпростіші дроби, які розкладаються в ряд Лорана:

Рис. 1.5

Якщо в ряді Лорана (1.20) беремо , , то цей ряд перетворюється на ряд Фур’є:

. (1.41)

З нерівності випливає, що ряд Фур’є (1.21) збіжний у полюсі

. (1.42)

Приклад. Розкласти в ряд Фур’є функцію

.

¨ Виконуючи перетворення , , дістаємо:

.

Здобутий вираз розкладемо в ряд Лорана, збіжний на колі :

.

Якщо , маємо ряд Фур’є:

.

1.3.8. Класифікація найпростіших
регулярних функцій

Розрізняють кілька найпростіших функцій, беручи до уваги характер їхніх особливих точок.

1. Многочлен виду — має єдину особливу точку , яка є полюсом n-го порядку. Навпаки, якщо регулярна функція має єдиний полюс у точці , то вона є многочленом. К. Гаусс довів, що многочлен n-го степеня має n коренів із урахуванням їхніх кратностей. Якщо
а — корінь кратності , то розклад у ряд Тейлора в точці а набирає вигляду:

, .

2. Цілу функцію — регулярну функцію, що має одну і тільки одну особливу точку . Ціла функція подається рядом Фур’є, збіжним на всій комплексній площині. До цілих належать, наприклад, функції , , , , де — многочлен.

3. Раціональний дріб виду

може як особливі точки мати лише скінченну кількість полюсів. Це будуть нулі знаменника і, можливо, точка . Навпаки, якщо регулярна функція має скінченну кількість особливих точок, які є полюсами, то ця функція є раціональним дробом.

4. Мероморфну функцію як узагальнення раціональних дробів, що у скінченній частині комплексної площини не може мати будь-яких інших особливих точок крім полюсів. Якщо мероморфна функція не є раціональним дробом, то вона має істотно особливу точку . У скінченній частині комплексної площини мероморфна функція не може мати точку скупчення нулів, так само як і точку скупчення полюсів. Якщо мероморфна функція має нескінченну кількість нулів або полюсів, то вони можуть скупчуватися лише до точки . Будь-яку мероморфну функцію можна подати у вигляді частки двох цілих функцій.

Мероморфну функцію, так само як і раціональний дріб, можна розкласти на найпростіші дроби.

Подпись: Теорема Міттаг-Лефлера. Нехай мероморфна функція має полюси , , , …, де , … . Позначимо нескінченну частину розкладу в околі точки . Тоді завжди можна побудувати многочлени , , , …, де складається з перших членів розкладу в ряд за цілими додатними степенями z, такі що ряд

рівномірно збіжний у будь-якій скінченній області після виокрем­лення кількох перших його членів.

Отже, мероморфну функцію можна подати у вигляді ряду

. (1.43)

Тут — деяка ціла трансцендентна функція.

Приклад. Мероморфну функцію можна розкласти в такий ряд:

Подання функції у вигляді нескінченного добутку

Означення. Нескінченний добуток

(1.44)

називається збіжним, якщо існує відмінна від нуля скінченна границя

.

Збіжність нескінченного добутку (1.44) еквівалентна збіжності ряду

.

Подпись: Теорема. Нескінченний добуток (1.44) збіжний, якщо збіжний ряд .

Означення. Нескінченний добуток із регулярними членами

називається абсолютно збіжним в області D, якщо для кожного значення z із області D ряд є збіжним абсолютно.

Абсолютна величина добутку при кожному z із області D скін­ченна і не залежить від порядку співмножників. Вона перетворюється на нуль для тих z, для яких принаймні один співмножник перетворюється на нуль.

Приклад. Цілу функцію можна подати у вигляді нескінченного добутку:

(1.44а)

або

.

Нехай потрібно побудувати цілу функцію , що має нулі у нескінченній кількості точок , , …, , … . Припускаємо, що числа перенумеровано так, що , , а також, що і при деякому цілому значенні збіжним є ряд . Тоді цілу функцію можна подати за формулою Вейєрштрасса:

.

Тут — деяка ціла функція; — кратність кореня .

1.3.10. Гамма-функція

Л. Ейлер упровадив важливу функцію , яка поширює поняття факторіала на випадок комплексних чисел, — так звану гам­ма-функцію, яку можна визначити за допомогою нескінченного добутку:

. (1.45)

Щоб довести збіжність нескінченного добутку, розглянемо величину, обернену до

(1.45а)

Як відомо, існує границя

,

де с — стала Ейлера. Нескінченний добуток у формулі (1.44а) збігається так само, як ряд .

Тому із формули (1.44) випливає, що — ціла функція, яка має нулі в точках (). Обернена до неї функція — функція регулярна на всій комплексній площині за винятком точок , де містяться прості полюси .

Згідно з (1.45) маємо:

Отже, гама-функція задовольняє функціональне рівняння

. (1.45б)

Узявши в (1.45) , дістанемо:

.

Отже, виконуються рекурентні співвідношення:

, , ,

які в загальному вигляді для будь-якого цілого додатного подаються так:

.

Як бачимо, гамма-функція є узагальненням поняття факторіала. Для неї відоме таке інтегральне подання:

. (1.46)

Важливі співвідношення для гамма-функції вивів Л. Ейлер. Так, якщо в (1.44а) замінимо на , дістанемо рівняння

.

А коли в (1.45а) замінимо на , знайдемо добуток

Звідси маємо рівняння

.

Із рівності остаточно дістаємо формулу Ейлера:

. (1.47)

З (1.46) випливає, що функція не має нулів. При великих додатних значеннях справджується асимптотична формула Стірлінга:

. (1.48)

Примітка. Л. Ейлер упровадив ще одну іншу визначну функцію, яку назвав бета-функцією:

, (1.49)

а також вивів формулу, що виражає бета-функцію через гамма-функцію:

. (1.50)

За допомогою формули (1.49) можна обчислити багато інтегралів.

Приклад. Скориставшись заміною , обчислити інтеграл

.

¨ З формули (1.47) при знаходимо .

Остаточно маємо:

.

Приклад. Обчислити невласний інтеграл

.

¨ За допомогою заміни зведемо інтеграл до бета-функції:

.

Аналогічно можна обчислювати багато різних інтегралів.

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить