Операційне числення та його застосування
  • Регистрация
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 0.00 (0 Голоса)

Побудова розв’язків системи диференціальних рівнянь в околі особливої точки

Будується частинний розв’язок системи диференціальних рівнянь в околі особливої точки. При цьому використовується метод, розроблений у [11].

1. Розглянемо систему диференціальних рівнянь

(4.2)

Відомо, що Потрібно визначити поводження розв’язку поблизу 0. Шукаємо розв’язки системи (1) при

Зробимо в (4.2) заміну незалежного змінного: При цьому інтервал (0, 1) для перейде в інтервал (0, ¥) для . Система (4.1) тоді набере вигляду

(4.3)

Введемо позначення для початкових умов при :

, (4.4)

де також знаходять чисельно.

Застосовуючи зображення Лапласа до (4.3), дістаємо систему різницевих рівнянь

Позначимо

і запишемо (4.4) у матричній формі:

(4.5)

Методом послідовних наближень знаходимо розв’язок (4.5):

(4.6)

Оригінал розв’язку (4.6) системи (4.3) має, як відомо [53], вигляд

(4.7)

У даному разі полюси матриць :

Тоді маємо такі формули для обчислення лишків:

(4.8)

Як випливає з (4.8), чисельне відшукання лишків громіздке. Тому було розроблено програму на ПЕОМ, що дає змогу швидко знаходити коефіцієнти ряду (4.6) із наперед заданою точністю.

Якщо для скористатись позначенням

то розв’язок (4.7) можна записати у вигляді при (0,1)

(4.9)

2. Визначимо чисельно

Позначивши , запишемо систему (4.2) у такому вигляді:

(4.10)

Вважаючи, що відоме, знайдемо розв’язок (4.2). Шукаємо многовид розв’язків

(4.11)

Підставляючи (4.11) в (4.10) і виконуючи відповідні перетворення, дістаємо одне диференціальне рівняння відносно :

(4.12)

Розв’язуючи (4.11) методом Рунге—Кутта, знаходимо значення (4.2). Тоді для значень маємо:

(4.13)

Підставляючи (4.13) в (4.9), дістаємо розв’язок системи (4.2) в околі особливої точки

Складено програму знаходження початкового значення та коефіцієнтів розв’язку системи, яку реалізовано для системи

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить