Операційне числення та його застосування
  • Регистрация
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 0.00 (0 Голоса)

 Підготовча теорема Вейєрштрасса

У теорії неявних функцій важливу роль відіграє підготовча теорема Вейєрштрасса [26; 34; 43]. Тут подано узагальнення цієї теореми.

Теорема Вейєрштрасса

Попередньо дамо означення регулярності функцій від двох аргументів.

Означення. Функція називається регулярною функцією від аргументів , , якщо вона регулярна відносно при будь-якому і регулярна відносно при будь-якому .

Якщо регулярна при , і неперервна в області , , а — межа області , — межа області , то справджується формула Коші

.

При цьому, якщо , виконуються рівності:

.

Якщо при , , то

.

Подпись: Теорема. Нехай для функції , регулярної в області , , виконуються співвідношення

, . (1.134)

Тоді існує окіл точки , в якій функція подається у вигляді

, (1.135)

де , , …, — функції, регулярні в точці ; — натуральне число, що збігається з найнижчим порядком відмінної від нуля похідної

, . (1.136)

Функція регулярна в точці , .

У цьому формулюванні теореми не вказано область голоморфності співмножників. Далі наведено теорему Вейєрштрасса з точнішим формулюванням. За допомогою теореми Руше легко знаходяться достатні, а в деяких випадках — і необхідні умови застосування теореми Вейєрштрасса.

Подпись: Теорема. Нехай функція регулярна відносно змінних при , . Тут — обмежена замкнена область з межами . Межа передбачається спрямленою. Якщо при , , виконуються умови

, (1.137)

то функція може бути розкладена на множники вигляду

, (1.138)

де — функція, регулярна в області , і функція , регулярна при , і така, що не перетворюється на нуль в області , .

Доведення. В обмеженій області регулярна функція , відмінна від функції, що тотожно дорівнює нулю, може мати лише скінчену кількість нулів. Нехай для фактичного значення функція має нулів в області . Згідно з основними умовами (1.137) для всіх функція матиме також нулів в області . Функції неперервно залежать від .

Хоча самі функції можуть бути нерегулярними функціями від , їх симетричні функції будуть регулярно залежати від . Справді, для суми s-х степенів коренів маємо відому формулу:

. (1.139)

Згідно з умовою (1.137) підінтегральна функція в (1.139) регулярно залежить від . Отже, всі функції будуть регулярними функціями від , . Побудуємо допоміжний многочлен

,

який має ті самі нулі .

Для обчислення коефіцієнтів многочлена можна використовувати відомі формули Ньютона [55]:

,

,

,

……………………………………

,

. (1.140)

Із цих формул випливає регулярність функцій . Оскільки функція

регулярна при , і не перетворюється на нуль, то це остаточно доводить правильність теореми.

Основними в підготовчій теоремі Вейєрштрасса є умови (1.137), тобто хоч би як змінювався параметр , нулі функції не повинні перетинати межу області .

Зауваження 1. Регулярну залежність від аргументу всюди в доведеній теоремі можна замінити неперервною залежністю від .

Зауваження 2. Області у формулюванні теореми можуть бути неоднозв’язними.

Зауваження 3. У теоремі замість одного параметра можна взяти кілька параметрів . При цьому матимемо такий результат.

Подпись: Теорема. Нехай функція регулярно залежить від при і регулярно залежить від параметрів при . Тут — обмежені замкнені області. Межа області передбачається спрямленою. Якщо при , виконується умова

, (1.141)

то функція може бути розкладена на множники

(1.142)

де функція — функції, що регулярно залежать від при . Функція регулярно залежить від при , і при цьому не перетворюється на нуль при , .

З теореми Руше [57] випливає така теорема.

Подпись: Теорема. Нехай — регулярна функція від змінних при , , де — обмежена замкнена область з межами . Межа передбачається спрямленою. Нехай при деякому значенні функція має в області нулів. Якщо при , виконується нерівність

, (1.143)

то функція може бути розкладена на множники виду (1.138).

Доведення випливає з умови (1.137), яка, у свою чергу випливає з нерівності (1.143), бо нерівність (1.143) не може виконуватися при .

Приклад. Розглядається рівняння

, (1.144)

де функція регулярно залежить від в області

, . (1.145)

Нехай в області (1.145) функція обмежена:

.

У формулі (1.143) візьмемо і нерівність (1.143) набирає вигляду

.

Тому за умов

, (1.146)

буде правильним розклад на множники

, , (1.147)

де — регулярні функції.

За допомогою умови (1.143) можна уточнити деякі формулювання підготовчої теореми Вейєрштрасса.

Подпись: Теорема. Нехай функція — регулярно залежить від в області

,

і обмежена там за модулем

.

Окрім того, виконуються умови

, , . (1.148)

Нехай водночас додатні коефіцієнти задовольняють такі нерівності:

, , . (1.149)

Тоді в разі виконання нерівностей

,

справджується розклад на регулярні множники

, . (1.150)

Тут коефіцієнти і — функції, регулярні в області (1.144).

Доведення. Функції можна подати у вигляді

,

де для функції маємо мажорантну нерівність [43].

.

Нерівність (1.143) при , набере вигляду

і виконуватиметься за умови (1.149). Теорему доведено.

До питання узагальнення підготовчої теореми Вейєрштрасса

Знайдено достатні умови того, що справджується підготовча теорема Вейєрштрасса [43] у випадку, коли аналітична функція має спеціальний вигляд.

Розглянемо рівняння

(1.151)

Тут — многочлен n-го степеня; — голоморфна функція в замкненій області G:

Знайдемо умови, за яких можливе спрощення лівої частини рівняння (1.151).

Подпись: Теорема. Нехай — голоморфна функція від змінних в області G. Нулі многочлена належать області При деякому значенні функція має в області Крім того, в G виконується на нерівність

(1.152)

Якщо виконуються умови

, , , (1.153)

то рівняння виду

(1.154)

може бути зведене до рівняння

. (1.155)

Доведення. Нехай має в області нулів. Із умови (1.153) теореми маємо, що при , виконується не-
рівність:

(1.156)

Тоді за теоремою Руше [57] функції і мають однакову кількість нулів у при всіх і області .

Нехай — нулі , які неперервно залежать від . Розглянемо допоміжний многочлен , нулі якого збігаються з нулями функції :

За умови (1.156) справджується підготовча теореми Вейєрштрасса (1.156), що стверджує можливість розкладу на множники [9; 34; 46].

Оскільки функція голоморфна в і не перетворюється на 0, дістаємо:

,

де і коефіцієнти можуть бути знайдені з формул Ньютона (1.140) [55].

Отже, відшукання коренів рівняння (1.154) зводиться до розв’язування рівняння (1.155)

.

Теорему доведено.

Приклад. Розглянемо диференціальне рівняння із загаювальним аргументом:

. (1.157)

Заміною , де — комплексне число, зведемо (1.157) до алгебраїчного рівняння

(1.158)

Скориставшись доведеною щойно теоремою, можемо дістати умови, що мають бути накладені на і відповідні області , де (1.158) матиме один корінь, два корені і т. д. Створено програму для ЕОМ, а також складено схему дослідження поводження двох коренів після зіткнення залежно від параметра області
(рис. 1.25).

Рис. 1.25 Схема поводження двох коренів рівняння (1.158)
після зіткнення в точці кратності

1.6.3. Нескінченна система
лінійних алгебраїчних рівнянь

Застосовуючи теорему Вейєрштрасса для дослідження конкретних неявних рівнянь, приходимо до необхідності розв’язу­вання нескінченні систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Викладемо новий метод розв’язування системи лінійних рівнянь

, (1.159)

що його запропонували автори.

Подпись: Теорема. Якщо головні мінори матриці коефіцієнтів системи рівнянь (1.159)

, , , …,

,

то справджується рівність

, , (1.160)

де визначники утворюються з визначників заміною останнього стовпця стовпцем з відповідних вільних членів:

, , , …, .

Визначники утворюються з визначників заміною останнього рядка рядком з допоміжних змінних :

, , , …, .

Доведення виконаємо за індукцією. При маємо цілком очевидне рівняння

.

Нехай рівність (1.160) доведено для систем порядку . Застосувавши правило Крамера, дістанемо систему рівнянь

, .

З формул Крамера знаходимо рівняння

.

Множачи ці рівняння на і додаючи почленно, дістаємо рівність

.

За умовою маємо:

.

Додавши ці рівняння, дістанемо формулу (1.160).

Теорему доведено.

Недолік розглянутого способу полягає у великому обсязі обчислень і виконанні умов . Перевага в тому, що можна в загальній формі записати комбінацію . Як правило, невідомі є коефіцієнтами при відомих функціях і фактично відшукується лінійна комбінація цих функцій . Формула (1.160) дає поправки до розв’язку системи рівнянь

, .

Наведемо ще одну формулу, що дає змогу підсумовувати праву частину рівняння (1.160):

.

Застосуємо формулу (1.160) до знаходження коренів рівнянь. Шукаємо найменший за модулем корінь рівняння

. (1.161)

Множачи рівняння на , дістаємо нескінченну систему лінійних алгебраїчних рівнянь для невідомих .

Визначаючи коефіцієнти при , знаходимо найменший за модулем корінь рівняння (1.161):

(1.162)

Цю формулу раніше дістав Е. Уїттекер [69].

Приклад. Розглянемо неявні рівняння

, , , , .

З формули (1.162) випливає такий розклад:

.

Цей самий розв’язок можна знайти методом послідовних наближень. Для цього записуємо рівняння виду

.

Шукаємо розв’язок методом послідовних наближень:

.

Беремо в нульовому наближенні і послідовно знаходимо:

, , ,

.

Метод послідовних наближень зручно застосовувати для знаходження простих коренів неявного рівняння в разі, коли коефіцієнт не залежить від параметра. Простий корінь рівняння знаходимо за обчислювальною схемою Ньютона:

, ,

або за методом послідовних наближень:

, .

Розглянемо складніший випадок, коли одночасно відшукуються два найменші за модулем корені рівняння відносно . Нехай функція регулярна відносно змінних в області , .

Припускаємо, що — шукана невідома, — параметр. При функція має двократний корінь . Розкладемо за степенями при ,

, . (1.163)

Припускаємо, що функція дійсна при дійсних значеннях . Тому всі коефіцієнти дійсні при дійсних значеннях . Нехай виконуються умови

, , . (1.164)

З підготовчої теореми Вейєрштрасса випливає, що функція має квадратичний множник

, , ,

нулями якого будуть найменші за модулем корені рівняння .

Маємо тотожність:

,

де , — регулярні функції від в точці .

Для визначення коефіцієнтів дістанемо нескінченну систему лінійних алгебраїчних рівнянь:

, , (1.165)

. (1.166)

Введемо позначення для нескінченних матриць і векторів:

, , , .

Систему рівнянь (1.166) можна записати у векторній формі:

. (1.167)

Оскільки для коефіцієнтів виконується умова

, ,

то шукатимемо розв’язки системи (1.167) у нормованому просторі з нормою

, .

Оскільки вектор , то система рівнянь (1.167) має розв’язок , якщо виконано умови

. (1.168)

Оскільки , — функції, регулярні і неперервні в точці , то знайдемо значення , таке що при виконується нерівність (1.168). У цьому разі існує матриця , що перетворюється на матрицю .

Знаходимо розклад

.

Із розв’язку системи (1.167)

знаходимо значення перших двох невідомих

(1.169)

Підставивши ці вирази в систему рівнянь (1.156), дістанемо неявні рівняння для знаходження коефіцієнтів , :

(1.170)

Оскільки , то неявні рівняння мають регулярні в точці розв’язки. Вважатимемо, що

, , .

Коефіцієнти , можна знайти у вигляді розкладів за степенями , . Умови Гурвіца для від’ємності дійсних частин коренів рівняння

мають вигляд нерівностей

, .

Підставляючи значення , знайдені з рівнянь (1.170), дістаємо умови

,

, (1.171)

які є необхідними і достатніми для того, щоб найменші за модулем корені рівняння відносно мали від’ємні дійсні частини.

Узагальнення теореми Вейєрштрасса на матричний випадок

У цьому підрозділі вивчаються нові результати про розклад функціональної матриці на матричні множники. Спочатку доведемо деякі оцінки для матриці, регулярної у крузі.

Подпись: Теорема. Якщо матриця регулярна у крузі і її подано у вигляді розкладу

, (1.172)

де — сталі матриці, — регулярна матриця, то справджуються оцінки

,

. (1.173)

Доведення. Розклад (1.172) — це розклад за формулою Тейлора. Оцінки для норм матричних коефіцієнтів знаходимо з
формули Коші:

.

Оскільки для довільної матриці з регулярними при елементами виконується нерівність

, , ,

то максимум норми матриці досягається на межі області при так само, як і максимум модуля регулярної функції. Звідси випливає, що

.

З формули (1.172) знаходимо оцінку

,

що й доводить теорему.

Розглянемо лінійні оператори , які регулярній матриці ставлять у відповідність матриці , .

, . (1.174)

Для норм операторів , маємо оцінки:

, . (1.175)

Скориставшись цими оцінками, доведемо теорему.

Подпись: Теорема. Нехай елементи матриць , є регулярними функціями від у замкненій області :

, .

Припустимо, що в виконано нерівності

, .

Якщо виконано умови

, , (1.176)

то рівняння виду

, (1.177)

де — одинична матриця, можна звести до такого вигляду:

. (1.178)

Доведення. Доведемо спочатку, що за умови (1.176) справджується такий розклад на матричні множники:

.

Розкриємо дужки і поділимо обидві частини рівності на :

.

Для знаходження матриць застосуємо лінійні оператори (1.174):

,

. (1.179)

Розв’яжемо ці операторні рівняння методом послідовних наближень:

,

. (1.180)

Беремо нульові початкові значення

, .

Знайдемо спочатку умови обмеженості послідовностей . Якщо при деякому для

, , (1.181)

то з рівнянь (1.180) дістаємо нерівності:

,

.

Тобто нерівності (1.181) виконуються для всіх значень , якщо справджується нерівність

. (1.182)

Для дослідження збіжності послідовностей , оцінимо норми різниць послідовних значень

; ;

.

Використовуючи оцінки (1.173) для норм операторів , , дістаємо нерівності:

,

, (1.183)

де

.

З формул (1.183) знаходимо нерівність

.

Послідовність сталих мажоруватиметься членами спадної геометричної прогресії, якщо

. (1.184)

Якщо виконуються умови (1.182), (1.184), то послідовності , рівномірно збігатимуться при як частинні суми можорованих рядів:

,

.

Нерівності (1.182), (1.184) мають розв’язки

, . (1.185)

Отже, доведено, що за умов (1.176) справджується розклад на множники.

Щоб остаточно довести теорему, доведемо, що в області (1.176) виконується нерівність

.

Оцінимо норму матриці . З формул (1.181) маємо оцінку

.

Із цієї нерівності випливає нерівність (1.185). При цьому дістаємо рівняння

.

При цьому рівняння (1.177) зводиться до рівняння (1.178), що доводить теореми.

Зокрема, при , маємо рівняння

, ,

яке за умов

,

можна звести до вигляду

.

Приклад. Перетворити рівняння

, .

¨ Розкладемо на множники матрицю визначника

.

При цьому приходимо до рівняння

,

яке розв’язуємо методом послідовних наближень:

, ,

,

.

При цьому вважаємо

, .

Послідовно маємо:

, ,

, ,
.

Рівняння

у третьому наближенні зводиться до рівняння виду

.

Це рівняння має корені .

Розклад дійсно-ермітових матриць на матричні множники

Іноді про розміщення коренів алгебраїчного рівняння можна судити за формою рівняння. Якщо — ермітова матриця, то всі корені алгебраїчного рівняння

(1.186)

є дійсними числами, а сама матриця має повну ортонормовану систему власних векторів [31].

Далі розглядаються матриці, що залежать від параметрів, які в загальному випадку можуть бути компланарними. Матрицю, яка є ермітовою при дійсних значеннях всіх параметрів, називатимемо дійсно-ермітовою матрицею.

Нехай — дійсно-ермітова матриця. Можна припустити, що за деяких умов рівняння

(1.187)

матиме лише дійсні корені. Досліджуючи стійкість розв’язків гамільтонових систем, приходимо до рівняння виду (1.187). Рівняння виду (1.187) перетворюватимемо на рівняння виду (1.186). При цьому розкладатимемо фундаментальну матрицю вже на три матричні множники.

Під час розкладання на множники використовуватимемо діагональну матрицю , на головній діагоналі якої містяться елементи, що дорівнюють 1 або – 1. Скориставшись евклідовою нормою вектора за формулою

,

дістанемо .

Наведемо деякі властивості матриці :

, , .

Зірочка тут і далі позначатиме перехід до транспонованого век­тора або матриці з комплексно-спряженими елементами.

Подпись: Теорема. Нехай елементи матриці є регулярними функціями від у замкненій області :

, .

Нехай в області матриця обмежена

.

Нехай — дійсно-ермітова матриця; — діагональна матриця, на головній діагоналі якої містяться елементи, що дорівнюють + 1 або – 1. Якщо виконано умови

, , (1.188)

то справджується розклад на матричні множники:

, (1.189)

де матриця — регулярна, дійсно-ермітова при . В області (1.188) виконано нерівності

, , ,

причому рівняння

(1.190)

можна подати у вигляді

. (1.191)

Доведення. Правильність розкладу (1.189) буде доведено, якщо знайдуться регулярні, дійсно-ермітові матриці , , що задовольняють рівняння

.

Шукаємо матриці , за допомогою методу послі-
довних наближень, вважаючи

. (1.192)

Використовуємо лінійні оператори , що визначаються рівняннями

, .

У попередньому розділі знайдено норми операторів :

, . (1.193)

Застосовуючи ці оператори, можемо записати матричні рівняння (1.192) в операторній формі:

, . (1.194)

Використовуємо метод послідовних наближень з нульовим початковим значенням:

, .

З рівнянь (1.192) випливає, що коли матриці , дійсно-ермітові, тобто

, , , ,

то матриці , також будуть дійсно-ермітові, оскільки .

Розклад на три множники у формулі (1.189) знадобився, бо добуток двох ермітових матриць може бути неермітовою матрицею.

Нехай в області виконуються умови:

, . (1.195)

З формул (1.192), (1.193) випливає, що нерівності (1.195) будуть виконані для всіх , якщо виконано нерівність

, . (1.196)

Вважаючи, що ці умови виконано, досліджуємо збіжність послідовностей , . З формул (1.194) маємо нерівності

,

.

Послідовності норм різниць , мажоруватимуться членами спадної геометричної прогресії, якщо власні числа матриці

будуть за модулем менші від одиниці. Виконання цієї умови приводить до нерівності

.

Звідси маємо:

.

З нерівності (1.196) знаходимо нерівність

,

.

Щоб остаточно довести теорему, оцінимо норму матриці . З формули (1.195) дістаємо нерівність

.

Оскільки в цьому випадку визначник

,

то рівняння (1.190) згідно з теоремою Лапласа зводиться до рівняння (1.191):

.

Теорему доведено.

Зокрема, коли матриця є одиничною матрицею, маємо теорему.

Подпись: Теорема. Нехай елементи матриці є регулярними
функціями в області :

, .

Припускаємо, що в області виконано умови

.

Нехай матриця — дійсно-ермітова. Якщо виконуються умови

, ,

то рівняння виду

(1.197)

можна звести до рівняння виду

,

де — дійсно-ермітова матриця, що задовольняє нерівність

.

Із цієї теореми випливає, що при усі корені рівняння (1.197), що лежать у крузі , є дійсними при дійсних параметрах .

У попередніх теоремах для доведення не було істотним, що матриця залежить лише від одного параметра. Тому здобутий результат легко узагальнити для випадку залежності від кількох параметрів.

Подпись: Теорема. Нехай елементи матриці — регулярні функції від і регулярні (неперервні) функції від у замкненій області :

, . (1.198)

Нехай -діагональна матриця, на головній діагоналі якої містяться елементи, що дорівнюють + 1 і – 1. Нехай — дійсно-ермітова матриця. Якщо в області (1.198) виконується умова обмеженості

, (1.199)

то справджується розклад на матричні множники:

де матриці , є дійсно-ермітовими з регулярними (неперервними) відносно елементами. Для них виконуються умови обмеженості в

, ,

.

За умов (1.199) рівняння

можна перетворити на рівняння

.

Зокрема, у разі виконання умови (1.198) рівняння

(1.200)

можна перетворити на рівняння

.

Отже, рівняння (1.200) при дійсних значеннях параметрів і за умов (1.199) має лише дійсні корені, які лежать у крузі .

Надалі, досліджуючи характеристичне рівняння, спиратимемося на такий результат:

Подпись: Теорема. Нехай елементи матриці є регулярними функціями від у замкненій області :

, , . (1.201)

і обмежені в цій області:

.

Нехай матриця — ермітова при дійсних значеннях . Матриці — діагональні.

На головній діагоналі матриці містяться елементи, що дорівнюють + 1 і – 1. На головній діагоналі матриці містяться елементи , які задовольняють нерівність

.

Якщо виконується умова

, (1.202)

то неявне рівняння виду

може бути перетворене на рівняння

, , (1.203)

де матриця — дійсно-ермітова і має елементи, регулярні в області (1.200).

Доведення. Використаємо розклад на матричні множники

,

де дійсно-ермітові матриці. Цей розклад справджуватиметься, якщо виконуватиметься матрична рівність:

.

Якщо — регулярна в області (1.201) матриця, то з рівняння

можна однозначно знайти регулярні матриці , за допомогою лінійних операторів , визначених так:

,

. (1.204)

Оскільки норма матриці з регулярними при елементами досягає найбільшого значення на колі , то для норм операторів знаходимо оцінки:

, . (1.205)

Зауважимо, що коли матриця — дійсно-ермітова, то такими самими будуть матриці , , здобуті за
формулами (1.204).

Використовуємо метод послідовних наближень:

, , , , (1.206)

.

Шукаємо граничні значення

, .

Припустимо, що для деякого значення виконуються в області (1.201) умови

, . (1.207)

Використовуючи оцінки (1.205), знаходимо з рівнянь (1.205), що нерівності (1.207) виконуються при всіх значеннях , якщо справджуються нерівності:

,

, . (1.208)

Для дослідження збіжності послідовностей , оцінимо норми різниць послідовних значень. З рівнянь (1.206) маємо нерівність

.

Послідовності , збігаються рівномірно в області до регулярних дійсно-ермірових матриць , , якщо власні числа матриці

за модулем менші від одиниці. Ця умова приводить до нерівності

. (1.209)

Графічні дослідження показують, що при , для виконання нерівностей (1.208), (1.209) достатньо виконання умов

, . (1.210)

Перша нерівність перетворюється на умову (1.202), друга — на умову (1.203). Оцінимо норму матриці . З (1.207), (1.210) маємо нерівність

, (), .

Тому в області виконується умова

.

Це остаточно доводить правильність теореми, оскільки

,

.

Результати цього розділу опубліковані частково у [9; 10; 37].

Узагальнення до питання розкладу дійсно-ермітових матриць на матричні множники

Знайдено достатні умови, за яких рівняння , де — дійсно-ермітові матриці, має дійсні корені.

Означення. Матрицю, ермітову при дійсних значеннях всіх параметрів, називатимемо дійсно-ермітовою матрицею.

Нехай і — дійсно-ермітові матриці. Розглянемо рівняння

. (1.211)

Відомо, що за певних умов рівняння

має дійсні корені [24]. Можна припустити, що корені рівняння (1.211) за деяких умов також будуть дійсними числами. Доведемо теорему.

Подпись: Теорема. Нехай елементи матриці є голоморфними функціями від і в замкненій області :

, ,

причому матриця — дійсно-ермітова й обмежена в області :

.

Матриця — дійсно-ермітова і обмежена при :

.

Якщо виконуються умови

,

,

то тоді рівняння (1.211) можна звести до виду

, (1.212)

де матриця — дійсно-ермітова при .

Доведення. 1. Визначимо можливість такого розкладу на матричні множники:

. (1.213)

Правильність розкладу (1.213) буде доведено, якщо знайдуться дійсно-ермітові матриці і , що задовольняють рівняння

. (1.214)

Шукаємо матриці і , використовуючи такі оператори і :

(1.215)

Оскільки норма матриці з голоморфними при елементами досягає найбільшого значення на колі , то для норм операторів , дістаємо оцінки:

, . (1.216)

Зауважимо, що коли , — дійсно-ермітові, то такими будуть і матриці і .

Застосовуючи метод послідовних наближень, маємо:

(1.217)

З (1.217) випливає, що коли , — дійсно-ермітові матриці, то матриці і також будуть дійсно-ермітовими.

Доведемо, що

, . (1.218)

Припустимо, що виконуються умови

. (1.219)

Враховуючи (1.216), на підставі (1.217) доходимо висновку, що ці умови (1.219) справджуються при всіх , якщо виконується нерівність

, (1.220)

де

, . (1.221)

Оцінимо норми різниць послідовних значень. З (1.217) маємо:

Отже, послідовності , збігаються рівномірно в до голоморфних дійсно-ермітових матриць, якщо власні числа матриці

за модулем менші від одиниці. Це приводить до нерівності

. (1.222)

Досліджуючи графічно нерівності (1.220) і (1.222), дістаємо, що при , для їх правильності достатнім є виконання умов

, , . (1.223)

Урахувавши (1.221), перепишемо (1.223) у вигляді

, . (1.224)

Отже, у разі виконання (1.224) доведено правильність розкладу (1.213).

2. Доведемо, що . Оцінимо норму матриці . Згідно з (1.219) маємо:

.

Оскільки в цьому разі

,

то рівняння (1.211) зводиться до рівняння (1.212).

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить