Операційне числення та його застосування
  • Регистрация
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 3.50 (1 Голос)

ЗАСТОСУВАННЯ ПЕРЕТВОРЕННЯ ЛАПЛАСА

Перетворення Лапласа є окремим випадком інтегрального перетворення Фур’є. Воно звичайно застосовується для розв’язування лінійних диференціальних, різницевих, диференціально-різницевих рівнянь зі сталими коефіцієнтами. Хоча цю працю присвячено, здебільшого, операційним методам розв’язування і дослідження динамічних систем зі змінними коефіцієнтами, у цьому короткому розділі викладено традиційні методи застосування перетворення Лапласа до стаціонарних динамічних систем.

Перетворення Лапласа

Ряди Фур’є.
Виведення перетворення Лапласа

Наведемо спочатку деякі відомості з рядів Фур’є. Якщо — періодична функція з періодом , що має на відрізку скінченну кількість екстремумів і розривів першого роду, то
функцію можна розкласти в ряд Фур’є

. (2.1)

Цей ряд збігається до у точках неперервності і до виразу

в точках розриву першого роду. Коефіцієнти ряду Фур’є визначаються за формулами

, (2.2)

Використовуючи формули Ейлера

, ,

ряд Фур’є (2.1) можна записати в комплексній формі:

,

де комплексні коефіцієнти визначаються за формулами

.

Нехай тепер функція періодична за з періодом . Допоміжна функція періодична за з періодом і може бути подана у вигляді

, .

Обернена заміна змінної приведе до розкладу періодичної функції з періодом у ряд Фур’є вигляду

, . (2.3)

З формул (2.3) можна граничним переходом дістати інтеграль­не перетворення Фур’є.

Нехай функція абсолютно інтегровна на всій осі , тобто задовольняє умову

і на кожному скінченному інтервалі має скінченну кількість екстремумів і точок розриву першого роду. Введемо періодичну функцію з періодом , яка на відрізку збігається з функцією

, .

У границі при при всіх значеннях дістаємо:

.

Функцію можна за допомогою розкладу (2.3) подати в такій формі:

.

Введемо позначення , .

Попередню формулу можна записати у вигляді

.

Цей вираз нагадує інтегральну суму. Переходячи до границі при , дістаємо формулу інтегрального перетворення Фур’є:

. (2.4)

Викладений висновок не можна вважати строго обґрунтованим, а лише правдоподібним, але отриману формулу (2.4) можна довести безпосередньо. Це зроблено, наприклад, у [67]. Формулу (2.4) можна подати у вигляді

,

. (2.5)

Існує багато різних умов, достатніх для правильності формул (2.5). Деякі з них вказані в [67]. Наведемо один із найважливіших результатів, що його здобув Планшерель.

 Теорема. Нехай функція із класу , тобто для неї існує інтеграл

і нехай

.

Тоді при функція збігається в середньому до деякої функції з :

.

Обернена функція

збігається в середньому при до функції .

Функції , пов’язані формулами

, ,

де рівності виконуються майже для всіх . При цьому

. (2.6)

Перейдемо до виведення перетворення Лапласа.

Нехай функція визначена при і має на будь-якому скінченному інтервалі скінченну кількість екстремумів і скінченну кількість розривів першого роду. Нехай існують сталі , такі що виконується нерівність

, ,

тобто зростання функції при має бути не швидшим за зростання деякої експоненціальної функції. Точна нижня межа (нижня грань) значень називається показником експоненціального зростання функції .

Введемо допоміжну функцію

, . (2.7)

До функції можна застосувати перетворення Фур’є, оскільки . При цьому дістаємо:

(2.8)

Введемо комплексну змінну і позначимо

. (2.9)

Друга формула (2.8) набере вигляду

, , .

Перейдемо до змінної інтегрування

,

і дістанемо формулу перетворення

; . (2.10)

Формули (2.9), (2.10) називаються формулами перетворення Лапласа. Функція називається зображенням функції за Лапласом. Сама функція , що відповідає даному зображенню , називається оригіналом. Відповідність між оригіналом і зображенням позначатимемо стрілкою, спрямованою до зображення:

, .

Інтеграл (2.9) визначає функцію комплексного змінного при , бо невласний інтеграл (2.9) збігається абсолютно при до регулярної функції комплексного змінного . Справді, при існує похідна

Далі припускатимемо, що функція продовжена на всю природну область існування.

Для розгляду функції , заданої при , можна ввести аналогічне перетворення Лапласа

,

, ; , .

При цьому передбачається, що виконано нерівність

, .

У деяких випадках у точці абсолютно збігається невласний інтеграл

. (2.11)

Тоді функцію можна подати при всіх у вигляді інтеграла

, . (2.12)

Функція називається двостороннім перетворенням Лапласа. Теорія двостороннього перетворення Лапласа викладена в монографії [53]. Звичайні перетворення Лапласа є окремим ви-
падком двостороннього перетворення.

Приклад. Знайдемо двостороннє зображення функції

.

Обчислюючи інтеграл (2.11), при дістаємо:

.

Тобто, маємо інтегральне подання для :

, .

Властивості перетворення Лапласа

Викладемо в цьому розділі лише ті властивості, які надалі використовуватимуться для розв’язування лінійних диференціальних і різницевих рівнянь.

1. Властивість лінійності. Якщо виконано співвідношення

,

і a, b — комплексні числа, то маємо співвідношення

. (2.13)

Властивість випливає з лінійності операцій інтегрування.

2. Властивість подібності. Якщо , , то

. (2.14)

Доведення. Застосувавши заміну , дістанемо

.

Це рівняння доводить виконуваність властивості (2.14). Якщо функція — ціла, для якої існує зображення для при комплексному значенні , то властивість (2.14) виконується при будь-якому комплексному значенні .

Приклад. З інтеграла

випливає, що при

.

3. Диференціювання оригіналу. Якщо функції , мають зображення за Лапласом і , то

. (2.15)

Ця властивість випливає з формули інтегрування частинами:

.

Застосовуючи це правило до похідних вищих порядків, дістаємо:

. (2.16)

4. Диференціювання зображення. Якщо , то

. (2.17)

Для доведення цієї формули досить продиференціювати п разів за p рівняння

.

Із формули Лейбніца для диференціювання за параметром дістанемо рівняння

.

Приклад. Безпосередньо обчислюючи інтеграл, знайдемо зображення для показникової функції

.

Застосовуючи формулу (2.17) для співвідношення

, (2.18)

дістаємо зручні для подальшого формули:

; ;

. (2.19)

5. Властивості зміщення. Якщо , то

. (2.20)

Доведення. Обчислити інтеграл

.

Здобута рівність, що справджується при будь-якому комплексному значенні , доводить потрібну властивість.

Приклад. Знайдемо зображення функцій

, .

Згідно з формулою Ейлера дістаємо:

;

.

З формули (2.20) знаходимо зображення:

, .

6. Властивості зсуву (теорема загаювання). Якщо , то

. (2.21)

Доведення. За допомогою заміни перетворюємо вираз

.

Це доводить справедливість формули (2.21). Зокрема, коли при , дістанемо з (2.21) співвідношення

. (2.22)

7. Властивість згортки. (Теорема добутку зображень).

Означення. Згорткою двох функцій , називається функція , що визначається за формулою

.

Якщо , , то

. (2.23)

Для доведення перетворюємо подвійний інтеграл

Здобутий результат доводить формулу (2.23).

8. Добуток оригіналів (Теорема Бореля). Обмежимося лише формулюванням теореми, яка доведена в [77].

 Теорема. Якщо функції , є оригіналами з показниками зростання відповідно , і зображеннями , , то добуток оригіналів задовольняє символічне рівняння

, (2.24)

де , .

Приклад. Нехай . Знайдемо зображення функції , враховуючи, що .

З формули (2.24) дістаємо відповідність при :


.

Цей самий результат можна дістати за допомогою властивості зміщення.

9. Перша теорема розкладу. Для знаходження оригіналу при відомому зображенні використовується розклад зображення в ряд, для членів якого відомі оригінали.

 Теорема. Нехай розкладається в ряд за степенями :

, (2.25)

що збігається при . Тоді відповідний оригінал є цілою функцією від з показником зростання і має аналітичне подання

. (2.26)

Доведення випливає з формули (2.19).

Приклад. Знайдемо оригінал для зображення . З фор­мули (2.26) знайдемо

.

10. Друга теорема розкладу.

 Теорема. Нехай зображення є правильний раціональний дріб

.

Якщо справджується розклад на найпростіші дроби

, (2.27)

то відповідний оригінал має вигляд

. (2.28)

У загальному випадку формулу (2.28) можна записати у вигляді

(2.29)

У частинному випадку, коли знаменник дробу має лише прості нулі , дістаємо розклад:

і для оригіналу дістаємо вираз

. (2.30)

Приклад. Знайдемо оригінал для зображення

.

З формули (2.28) знаходимо оригінал :

.

ТАБЛИЦЯ ОРИГІНАЛІВ І ЗОБРАЖЕНЬ

, .

1.

.

2.

.

3.

4. .

5.

6.

7.

Перетворення лапласа - 3.0 out of 5 based on 1 vote

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить