Операційне числення та його застосування
  • Регистрация
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 0.00 (0 Голоса)

Передавальна функція нестаціонарної системи

Утілюючи в життя ідеї Й. З. Штокала [79, 80], розглянемо лінійне диференціальне рівняння зі змінними коефіцієнтами

, , (3.31)

яке можна записати в операторній формі

, (3.32)

де

Припустимо, що дія на має спеціальний вигляд:

(3.33)

і знайдемо відповідний частинний розв’язок диференціального рівняння (2.2) у вигляді

(3.34)

За певних умов, про які йтиметься далі, функцію можна використати для рівняння (3.32), коли дії на вході мають довіль­ний вигляд. А саме, нехай функція подається за допомогою оберненого перетворення Лапласа:

де — досить велике число, а — зображення ,

Помножимо рівняння

(3.35)

на і зінтегруємо за р уздовж прямої Припускаючи переставність операцій диференціювання за та інтегрування за дістаємо рівняння

з якого випливає, що за у рівнянні (3.32) можна взяти вираз

(3.36)

Ця важлива формула показує, що досить розв’язати рівняння (3.32) у разі спеціальної дії на вході (3.33), щоб вміти розв’язувати рівняння (3.32) за достатньої довільної вхідної дії.

Рівняння (3.35) можна перетворити до іншої форми. Використовуючи відому в теорії диференціальних операторів формулу

,

запишемо рівняння

,

або

(3.37)

У нашому випадку вираз є многочленом степеня відносно Цей многочлен можна розкласти за степенями , скориставшись формулою Тейлора:

,

а далі переписати рівняння (3.37) у вигляді, що його зазначив Л. І. Заде [89]:

(3.38)

Доведемо, що це рівняння можна далі спростити. Для цього перейдемо у формулі (3.36) до простору оригіналів. Розглянемо функцію двох змінних

(3.39)

Формула (3.36) у разі заміни на набере вигляду

. (3.40)

Отже, дістали відому формулу Коші для побудови частинного розв’язку неоднорідного рівняння (3.32) з нульовими початковими умовами при . Якщо функція Коші відома, то параметричну передавальну функцію можна знайти за допомогою перетворення Лапласа:

Нехай розв’язано «простіше» за (3.38) рівняння

(3.41)

Відповідну функцію Коші позначимо так:

Розв’язок рівняння (3.32) можна подати у вигляді

Інтегруючи частинами і припускаючи, що позаінтегральні члени перетворюються на нуль за рахунок вибору нульових початкових значень для у точці дістаємо формулу

Порівняння з (3.40) дає рівність

(3.42)

Таким чином, досить розв’язати рівняння (3.41) для того, щоб можна було розв’язати рівняння (3.31). Навпаки, якщо ми зможемо розв’язати рівняння (3.31), то розв’яжемо й «більш частинні» рівняння (3.38) або (3.41). У математиці буває, що частинний випадок рівносильний загальному. У даному разі розв’язання рівняння (3.31) і рівняння (3.41) — рівносильні задачі однакової складності. Переваги розглянутих понять полягають у можливості зручної формалізації відомих формул, що зумовлюється звичним для інженерів використанням перетворення Лапласа. Для рівняння виду (3.41) можна розвивати наближені методи розв’язування. Приховані переваги полягають у можливості використання властивостей функцій комплексного змінного для подання та аналітичного продовження функцій До недоліків слід віднести те, що функція не однозначно визначається рівнянням (3.41). Потрібно знати початкові або граничні умови. Не обґрунтовано і збіжність інтеграла у (3.36). Тому найбільш строгий виклад теорії передавальних функцій пов’язаний з формулами типу (3.40).

Загалом можна зробити висновок про те, що для побудови параметричної передавальної функції для рівняння (3.31) потрібно вміти інтегрувати це рівняння в замкненій або наближеній формі.

Приклад. Знайдемо параметричну передавальну функцію для диференціального рівняння

Знайдемо спочатку функцію Коші

а далі — параметричну передавальну функцію

При досить великих значеннях функція близька до функції

тобто початкове рівняння можна наближено замінити диференціальним рівнянням зі сталими коефіцієнтами

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить