Операційне числення та його застосування
  • Регистрация
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 0.00 (0 Голоса)

Основні поняття функцій комплексного змінного

1. Регулярні функції комплексного змінного

Будь-яку комплексну функцію комплексного аргументу можна подати у вигляді

(1.7)

У множині всіх комплексних функцій математики виокремили клас функцій, які мають похідну

, (1.8)

що не залежить від способу прямування до нуля.

 Теорема. Для того щоб функція мала похідну, яка не залежить від способу прямування до нуля, необхідно, щоб виконувалися умови:

. (1.9)

Доведення. Нехай приріст аргументу , тобто дійсний. Тоді маємо:

У разі, коли приріст аргументу , тобто є суто уявним, дістаємо такий вираз для похідної:

Порівнюючи праві частини здобутих виразів, приходимо до системи рівнянь (1.9), яку називають умовами Коші—Рімана або Eйлера—Даламбера.

Означення. Якщо для функції існують неперервні частинні похідні функцій , і виконуються умови Коші—Рімана в деякій області D, то функція називається регулярною в області D.

Із існування частинних похідних випливає неперервність функ­ції .

Функція називається регулярною в точці z , якщо вона регулярна в деякій відкритій області, що містить точку z.

Припустимо, що функції , мають неперервні частинні похідні до другого порядку включно. Оскільки мішані похідні не залежать від порядку диференціювання, то функції , задовольняють рівняння

, (1.10)

і називаються гармонійними.

Функції , , що задовольняють умови (1.10), називаються спряженими гармонійними функціями.

Будь-яка гармонійна функція може бути дійсною або уявною частиною деякої регулярної функції.

Приклад. Нехай маємо регулярну функцію

.

Для гармонійних функцій

,

виконуються умови Коші—Рімана (1.9), оскільки

Приклад. Розглянемо експоненціальну функцію

,

яка має відповідно дійсну та уявну частини:

Ці функції є гармонійними на всій комплексній площині, і для них виконуються умови Коші—Рімана (1.9):

Якщо дві регулярні функції збігаються на множині точок, що має скінченну граничну точку, вони повністю збігаються. Зокрема, якщо дві регулярні функції рівні при дійсних значеннях аргументу, то вони збігаються при всіх комплексних значеннях аргументу. Застосуємо цю властивість для відшукання аналітичної функції за відомою дійсною частиною .

Із очевидних рівностей

дістаємо:

.

Узявши , дістанемо формулу

,

згідно з якою визначається з точністю до сталої .

Приклад. Нехай . Знайти при .

¨ .

Оскільки сума похідних двох функцій є похідною суми цих функцій, то із регулярності двох функцій в області D випливає регулярність суми . Аналогічно із регулярності функцій в області D випливає регулярність добутку і відношення у точках, де .

Нехай регулярна та однозначна в області D і . Якщо в області D, то обернена функція буде регулярною в цій області. Якщо — регулярна функція в області D1, то складена функція також буде регулярною в області D.

Якщо — функція, регулярна в області D, то її похідна також є регулярною функцією в цій області. Це випливає з того, що похідна функції (1.7)

,

задовольняє умови Коші—Рімана (1.9), тобто систему рівнянь

Розглянемо криволінійний інтеграл

(1.11)

Криволінійний інтеграл не залежить від шляху інтегрування, якщо підінтегральний вираз є повним диференціалом, тобто виконуються рівності

,

що збігаються з умовами (1.9).

Знайдемо похідну функції . Надавши аргументові z приросту , запишемо рівність

,

з якої в результаті граничного переходу дістанемо:

,

узявши до уваги, що

.

Тут L — прямолінійний відрізок, який сполучає точки z, на комплексній площині. Із існування похідної , що не залежить від вибору приросту , випливає регулярність функції .

Отже, у результаті виконання операцій диференціювання та інтегрування властивість регулярності функцій збігається. Варто зазначити, що всі елементарні функції, які вивчаються в курсі шкільної математики, є регулярними і утворюються як комбінації експоненціальних та обернених до них логарифмічних функцій.

2. Логарифмічна функція

Візьмемо Тоді

де функції , визначаються з рівнянь:

.

Звідси маємо ще одну формулу Ейлера:

.

(1.12)

Приклад. Знайдемо логарифм від’ємного числа:

Функція — багатозначна, причому щоразу, коли аргумент робить один повний оберт навколо точки в додатному напрямі (проти годинникової стрілки), значення функції набуває приросту .

3. Степенева функція

Степеневу функцію , можна визначити так:

(1.13)

Якщо — ціле число, то , є однозначною функ­цією. Якщо — раціональне число , то степенева функція стає багатозначною, причому внаслідок кожного повного оберту аргументу навколо точки значення функції дістає додатковий множник .

Якщо — ірраціональне число, то функція , має нескінченну множину різних значень.

Приклад. Функція має три різні значення

які різняться множником

.

Зокрема, знаходимо три різні значення кореня

, :

якщо , то ; якщо , ; якщо , .

4. Тригонометричні функції

Знайдемо згідно з (1.6) значення тригонометричних функцій у разі суто уявного аргументу:

, (1.14)

де — гіперболічні функції. Аналогічно знаходимо значення гіперболічних функцій від суто уявного аргументу:

(1.15)

Ці формули застосовують, відшукуючи значення тригонометричних функцій від комплексних аргументів.

Приклад. Знайти значення таких функцій:

1) ;

2) ;

3) ;

4)

;

5)

6)

5. Обернені тригонометричні формули

Усі обернені тригонометричні функції можна подати через логарифмічну функцію.

Нехай, скажімо, маємо . Тоді, виконуючи відповідні перетворення, послідовно дістаємо: ; позначивши , запишемо або звідки а отже,

Остаточно дістаємо формулу для арккосинуса:

(1.16)

Аналогічно маємо:

, (1.17)

. (1.18)

Приклад. Розв’язати рівняння .

¨ Знаходимо шуканий розв’язок згідно з (1.16):

Приклад. Розв’язати рівняння .

¨ Згідно з (1.16) маємо:

.

Приклад. Розв’язати рівняння .

¨ Застосовуючи (1.18), дістаємо:

Приклад. Розв’язати рівняння .

¨ На підставі (1.17) маємо:

.

6. Показникова функція

Показникова функція з довільною основою а визначається за формулою:

. (1.19)

Приклад. Знайти вираз для числа .

¨ .

Значення знайденого виразу становлять нескінченну множину значень, одне з яких

Приклад. Знайти значення від’ємного числа в ірраціональному степені

¨

Усі значення всюди щільно лежать на колі радіуса із центром у початку координат. Жодне зі значень не є дійсним.

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить